【題目】已知拋物線y=x2+mx﹣2m﹣4(m>0).
(1)證明:該拋物線與x軸總有兩個不同的交點;
(2)設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側),與y軸交于點C,A,B,C三點都在⊙P上.
①試判斷:不論m取任何正數(shù),⊙P是否經過y軸上某個定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,說明理由;
②若點C關于直線x的對稱點為點E,點D(0,1),連接BE,BD,DE,△BDE的周長記為l,⊙P的半徑記為r,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)①定點F的坐標為(0,1);②.
【解析】
(1)令y=0,再求出判別式,判斷即可得出結論;
(2)先求出OA=2,OB=m+2,OC=2(m+2),
①判斷出∠OCB=∠OAF,求出tan∠OCB=,即可求出OF=1,即可得出結論;
②先設出BD=n,再判斷出∠DCE=90°,得出DE是⊙P的直徑,進而求出BE=2n,DE=n,即可得出結論.
(1)令y=0,則x2+mx﹣2m﹣4=0,
∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16,
∵m>0,
∴△>0,
∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點;
(2)令y=0,則x2+mx﹣2m﹣4=0,
∴(x﹣2)[x+(m+2)]=0,
∴x=2或x=﹣(m+2),
∴A(2,0),B(﹣(m+2),0),
∴OA=2,OB=m+2,
令x=0,則y=﹣2(m+2),
∴C(0,﹣2(m+2)),
∴OC=2(m+2),
①通過定點(0,1)理由:如圖,
∵點A,B,C在⊙P上,
∴∠OCB=∠OAF,
在Rt△BOC中,tan∠OCB,
在Rt△AOF中,tan∠OAF,
∴OF=1,
∴點F的坐標為(0,1);
②如圖1,
由①知,點F(0,1).
∵D(0,1),
∴點D在⊙P上,
∵點E是點C關于拋物線的對稱軸的對稱點,
∴∠DCE=90°,
∴DE是⊙P的直徑,
∴∠DBE=90°,
∵∠BED=∠OCB,
∴tan∠BED,
設BD=n,在Rt△BDE中,tan∠BED,
∴BE=2n,根據(jù)勾股定理得:DEn,
∴l=BD+BE+DE=(3)n,rDEn,
∴.
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【題目】在學完二次函數(shù)的圖像及其性質后,老師讓學生們說出的圖像的一些性質,小亮說:“此函數(shù)圖像開口向上,且對稱軸是”;小麗說:“此函數(shù)肯定與x軸有兩個交點”;小紅說:“此函數(shù)與y軸的交點坐標為(0,-3)”;小強說:“此函數(shù)有最小值, ”……請問這四位同學誰說的結論是錯誤的( )
A. 小亮 B. 小麗 C. 小紅 D. 小強
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣1.
(1)寫出它的頂點坐標;
(2)當x取何值時,y隨x的增大而增大;
(3)當x取何值時y的值大于0.
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【題目】如圖是一座人行天橋引橋部分的示意圖,上橋通道AD∥BE,水平平臺DE和地面AC平行,立柱BC和地面AC垂直,∠A=37°.已知天橋的高度BC為4.8米,引橋的水平跨度AC為8米,求水平平臺DE的長度.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【題目】如圖,CE是ABCD的邊AB的垂直平分線,垂足為點O,CE與DA的延長線交于點E.連接AC,BE,DO,DO與AC交于點F,則下列結論:
①四邊形ACBE是菱形;
②∠ACD=∠BAE;
③AF:BE=2:3;
④S四邊形AFOE:S△COD=2:3.
其中正確的結論有_____.(填寫所有正確結論的序號)
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【題目】某興趣小組為了解我市氣溫變化情況,記錄了今年月份連續(xù)天的最低氣溫(單位:℃):.關于這組數(shù)據(jù),下列結論不正確的是( )
A.平均數(shù)是 B.中位數(shù)是 C.眾數(shù)是 D.方差是
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【題目】如圖為一座拋物線型的拱橋,AB、CD分別表示兩個不同位置的水面寬度,O為拱橋頂部,水面AB寬為10米,AB距橋頂O的高度為12.5米,水面上升2.5米到達警戒水位CD位置時,水面寬為( )米.
A. 5 B. 2 C. 4 D. 8
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【題目】如圖,是ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交于點D,過點D作DEAC分別交AC、AB的延長線于點E、F.
(1)求證:EF是的切線;
(2)若AC=4,CE=2,求的長度.(結果保留)
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【題目】如圖,某工程隊在工地互相垂直的兩面墻AE、AF處,用180米長的鐵柵欄圍成一個長方形場地ABCD,中間用同樣材料分割成兩個長方形.已知墻AE長120米,墻AF長40米,要使長方形ABCD的面積為4000平方米,問BC和CD各取多少米?
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