兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點(diǎn)P在的圖象上,PC⊥x軸于點(diǎn)C,交的圖象于點(diǎn)A,PD⊥y軸于點(diǎn)D,交的圖象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),以下結(jié)論:①△ODB與△OCA的面積相等;②四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化;③PA與PB始終相等;④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn).其中一定正確的是 .
①②④
【解析】
試題分析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),而A、B兩點(diǎn)都在的圖象上,故有x1y1=x2y2=1,而S△ODB=×BD×OD=x2y2=,S△OCA=×OC×AC=x1y1=,故①正確;
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可知P(x1,y2),P點(diǎn)在的圖象上,故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k,根據(jù)S四邊形PAOB=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA,計(jì)算結(jié)果,故②正確;
由已知得x1y2=k,即x1?=k,即x1=kx2,由A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo)可知PA=y2﹣y1=﹣=,PB=x1﹣x2,=(k﹣1)x2,故③錯(cuò)誤;
當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí),y2=2y1,代入x1y2=k中,得2x1y1=k,故k=2,代入x1=kx2中,得x1=2x2,可知④正確.
解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1y1=x2y2=1,
∵S△ODB=×BD×OD=x2y2=,S△OCA=×OC×AC=x1y1=,故①正確;
(2)由已知,得P(x1,y2),
∵P點(diǎn)在的圖象上,
∴S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k,
∴S四邊形PAOB=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA=k﹣﹣=k﹣1,故②正確;
(3)由已知得x1y2=k,即x1?=k,
∴x1=kx2,
根據(jù)題意,得PA=y2﹣y1=﹣=,PB=x1﹣x2,=(k﹣1)x2,故③錯(cuò)誤;
(4)當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí),y2=2y1,
代入x1y2=k中,得2x1y1=k,
∴k=2,
代入x1=kx2中,得x1=2x2,故④正確.
故本題答案為:①②④.
考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題.
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,涉及點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化,相等長(zhǎng)度的表示方法,三角形、四邊形面積的計(jì)算,充分運(yùn)用雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于反比例系數(shù)k.
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