Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接DE交線(xiàn)段OA于點(diǎn)F．

（1）求證：DH是圓O的切線(xiàn)；

（2）若A為EH的中點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角證明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線(xiàn)；

（2）如圖2，先證明∠E=∠B=∠C，則H是EC的中點(diǎn)，設(shè)AE=x，EC=4x，則AC=3x，由OD是△ABC的中位線(xiàn)，得：OD=AC=，證明△AEF∽△ODF，列比例式可得結(jié)論；

連接OD，如圖1，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線(xiàn)；

（2）如圖2，

在⊙O中，∵∠E＝∠B，

∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且點(diǎn)A是EH中點(diǎn)，

設(shè)AE＝x，EC＝4x，則AC＝3x，

連接AD，則在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中點(diǎn)，

∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，

∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝，

∵OD∥AC，

∴∠E＝∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴,

∴,

∴.