Question

如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是　   　，線段AD的長(zhǎng)等于　   　；
（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）（0，3）；4。
（2）
（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形。

試題分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AD的長(zhǎng)：
∵與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴y=0時(shí)，x=﹣3，x=0時(shí)，y=1。
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）。
∴OC=3，DO=1。
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長(zhǎng)等于4。
（2）首先得出點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。
∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD�！郞M=MD=CM。
∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C，M，
∴，解得：。
∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：。
（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，分析四邊形CFPE為菱形得出即可。
情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE。
由題意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°。∴菱形CFEP為正方形。
過點(diǎn)P作PH⊥CE，垂足為H，
則Rt△CHP為等腰直角三角形。
∴CP=CH=PH。
設(shè)點(diǎn)P為（x，），則OH=，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x₁=， x₂=0（舍去）。
∴CP=CH=。
∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：。
情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。
∵直線AC過點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y=x+3。
過點(diǎn)C作CM⊥PF，垂足為M，
則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM。
延長(zhǎng)PF交x軸于點(diǎn)N，則PN⊥x軸，
∴PF=FN﹣PN。
設(shè)點(diǎn)P為（x，），則點(diǎn)F為（x，x+3），
∴。
∴，解得：，x₂=0（舍去）。
∴。
∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：）。
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長(zhǎng)為或。