Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，AB=a，C是半圓上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接CD，DB，OD．
（1）求證：△CDF≌△BDE；
（2）當(dāng)AD=時，四邊形AODC是菱形；
（3）當(dāng)AD=時，四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF．

∵弦AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠BAD，

∴BD=CD．

在Rt△BED和Rt△CFD中 ，

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）
（3） a
【解析】解：（2）四邊形AODC是菱形時， OD=CD=DB=OB，
∴∠DBA=60°，
∴AD=ABcos∠DBA=asin60°= a，
故答案為： ；（3）當(dāng)OD⊥AB，即OD與OE重合時，四邊形AEDF是正方形，
由勾股定理，得
AD= = a，
故答案為： a．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DF與DE的關(guān)系，根據(jù)圓周角定理，可得DC與DB的關(guān)系，根據(jù)HL，可得答案；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得OD與CD，OD與BD的關(guān)系，根據(jù)正三角形的性質(zhì)，可得∠DBA的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)值，可得答案；（3）根據(jù)圓周角定理，可得OD⊥AB，根據(jù)勾股定理，可得答案．