Question

【題目】如圖1所示，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AD左側(cè)作等腰直角三角形ADF，連接CF，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：CF=BD，且CF⊥BD，證明如下：

∵∠FAD=∠CAB=90°，

∴∠FAC=∠DAB．

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD

∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，

∴FC⊥CB，

故CF=BD，且CF⊥BD

（2）

解：（1）的結(jié)論仍然成立，如圖2，∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD；

∴CF=BD，且CF⊥BD．

【解析】（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD；（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°才能得出正確答案．