【題目】如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點(diǎn).
(1)如圖1,寫出點(diǎn)D到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離的關(guān)系(直接寫出結(jié)論);
(2)如圖1,點(diǎn)E,F分別是AB,AC上的點(diǎn),且BE=AF,求證:△DEF是等腰直角三角形;
(3)若點(diǎn)E,F分別是AB,CA的延長線上的點(diǎn),仍有BE=AF,其他條件不變,請(qǐng)判斷△DEF的形狀?(直接寫結(jié)論).
【答案】(1)點(diǎn)D到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;(2)見解析;(3)△DEF是等腰直角三角形
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定即可知CD=BD=AD;
(2)根據(jù)△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),證明△ADF≌△BDE(SAS),得到DF=DE,∠ADF=∠BDE,等量代換得到∠EDF=90°即可證明;
(3)作出圖形,根據(jù)△ABC是等腰直角三角形以及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),證明△ADF≌△BDE(SAS),得到DF=DE,∠ADF=∠BDE,等量代換得到∠EDF=90°即可解答.
解:(1)如圖,連接AD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),
∴∠B=∠C=45°,∠BAD=∠CAD=45°,BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∴AD=BD,AD=CD,
∴CD=BD=AD,
即點(diǎn)D到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;
(2)如(1)中,連接AD,
∵AB=AC,∠A=90°,D為BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°,∠B=∠C=45°,
∴∠CAD=∠B=45°,
又∵AD=BD,
∴在△ADF與△BDE中,
AD=BD,∠DAF=∠DBE,AF=BE,
∴△ADF≌△BDE(SAS),
∴DF=DE,∠ADF=∠BDE,
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形;
(3)△DEF是等腰直角三角形,
理由:如圖所示,連接AD,
∵AB=AC,∠A=90°,D為BC的中點(diǎn),
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°,∠ABC=∠C=45°,
∴180°-∠CAD=180°-∠ABC,即∠DAF=∠DBE,
又∵AD=BD,
∴在△ADF與△BDE中,
AD=BD,∠DAF=∠DBE,AF=BE,
∴△ADF≌△BDE(SAS),
∴DF=DE,∠ADF=∠BDE,
∵∠ADF+∠BDF=90°,
∴∠BDE+∠BDF=90°,即∠EDF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,AB為直徑,CD為弦.AB與CD交于點(diǎn)M,將 沿著CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長OA至P,使AP=OA,鏈接PC.
(1)求CD的長;
(2)求證:PC是⊙O的切線;
(3)點(diǎn)G為 的中點(diǎn),在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)Q,連接QG交AB于點(diǎn)E,交 于點(diǎn)F(F與B、C不重合).問GEGF是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,分別以AB、AD為邊作等邊△ABE和等邊△ADF,分別連接CE,CF和EF,則下列結(jié)論,一定成立的個(gè)數(shù)是( 。
①△CDF≌△EBC;
②△CEF是等邊三角形;
③∠CDF=∠EAF;
④CE∥DF
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】安慶市在精準(zhǔn)扶貧活動(dòng)中,因地制宜指導(dǎo)農(nóng)民調(diào)整種植結(jié)構(gòu),增加種植效益,2018年李大伯家在工作隊(duì)的幫助下,計(jì)劃種植馬鈴薯和蔬菜共15畝,預(yù)計(jì)每畝的投入與產(chǎn)出如下表:(每畝產(chǎn)出-每畝投入=每畝純收入)
種類 | 投入(元) | 產(chǎn)出(元) |
馬鈴薯 | 1000 | 4500 |
蔬菜 | 1200 | 5300 |
(1)如果這15畝地的純收入要達(dá)到54900元,需種植馬鈴薯和蔬菜各多少畝?
(2)如果總投入不超過16000元,則最多種植蔬菜多少畝?該情況下15畝地的純收入是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),AB=DB,BE平分∠ABC,交AC于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求證:△ABE≌△DBE;
(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC為一邊作等邊三角形OCD,連接AC、AD.當(dāng)△AOD是等腰三角形時(shí),求α的角度為______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市火車站北廣場將于2016年底投入使用,計(jì)劃在廣場內(nèi)種植A,B兩種花木共 6600棵,若A花木數(shù)量是B花木數(shù)量的2倍少600 棵.
(1)A,B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵?
(2)如果園林處安排13人同時(shí)種植這兩種花木,每人每天能種植A花木60棵或B花木40 棵,應(yīng)分別安排多少人種植A花木和B花木,才能確保同時(shí)完成各自的任務(wù)?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象交x軸于點(diǎn)E、交反比例函數(shù) 的圖象于點(diǎn)F(點(diǎn)F在第一象限),過線段EF上異于E,F(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)A作x軸的平行線交 的圖象于點(diǎn)B,過點(diǎn)A,B作x軸的垂線段,垂足分別是點(diǎn)D,C,則矩形ABCD的面積最大值為 .
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【題目】在一次數(shù)學(xué)課上,張老師出示了一個(gè)題目:“如圖,ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF垂直于BD交AB,CD分別于點(diǎn)F,E,連接DF,請(qǐng)根據(jù)上述條件,寫出一個(gè)正確結(jié)論”其中四位同學(xué)寫出的結(jié)論如下:
小青:;小何:四邊形DFBE是正方形;
小夏:;小雨:.
這四位同學(xué)寫出的結(jié)論中不正確的是
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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