【題目】(10分)如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(提示:正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_____,線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點(diǎn)D在線段BC上,當(dāng)∠ACB滿足 條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合),并說(shuō)明理由.
【答案】(1)垂直,相等;(2)45°
【解析】試題分析:(1)①證明△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD與CF相等且垂直;②①的結(jié)論仍成立,同理證明△DAB≌△FAC,可得結(jié)論:垂直且相等;
(2)、當(dāng)∠ACB滿足45°時(shí),CF⊥BC;如圖4,作輔助線,證明△QAD≌△CAF,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)、①CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等,
理由是: 如圖2,∵四邊形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∴∠DAC+∠CAF=90°, ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,且∠B=∠ACB=45°,∴∠CAF=∠BAD, ∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°, ∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即∠BCF=90°,∴BC⊥CF,即BD⊥CF;
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),①的結(jié)論仍成立,理由是:
如圖3,由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD, ∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=∠ABC=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(2)、當(dāng)∠BCA=45°時(shí),CF⊥BD,理由是: 如圖4,過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AC,交BC于點(diǎn)Q, ∵∠BCA=45°, ∴∠AQC=45°, ∴∠AQC=∠BCA, ∴AC=AQ,
∵AD=AF,∠QAC=∠DAF=90°, ∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC, ∴∠QAD=∠CAF,
∴△QAD≌△CAF, ∴∠ACF=∠AQD=45°, ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°, 即CF⊥BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小慧兩位同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,把長(zhǎng)為30cm,寬為10cm的長(zhǎng)方形白紙條粘合起來(lái),小明按如圖甲所示的方法粘合起來(lái)得到長(zhǎng)方形ABCD,粘合部分的長(zhǎng)度為6cm,小慧按如圖乙所示的方法粘合起來(lái)得到長(zhǎng)方形A1B1C1D1 , 黏合部分的長(zhǎng)度為4cm.若長(zhǎng)為30cm,寬為10cm的長(zhǎng)方形白紙條共有100張,則小明應(yīng)分配到張長(zhǎng)方形白紙條,才能使小明和小慧按各自要求黏合起來(lái)的長(zhǎng)方形面積相等(要求100張長(zhǎng)方形白紙條全部用完).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有下列判斷:①∠A與∠1是同位角;②∠A與∠B是同旁內(nèi)角;③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角;④∠1與∠3是同位角. 其中正確的是(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王近日,西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著,其中有一文《積求勾股法》,它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形,已知面積求邊長(zhǎng)”這一問(wèn)題提出了解法:“若所設(shè)者為積數(shù)(面積),以積率六除之,平方開(kāi)之得數(shù),再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之?dāng)?shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是:“若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍,設(shè)其面積為S,則第一步: =m;第二步: =k;第三步:分別用3、4、5乘以k,得三邊長(zhǎng)”.
(1)當(dāng)面積S等于150時(shí),請(qǐng)用康熙的“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng);
(2)你能證明“積求勾股法”的正確性嗎?請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開(kāi),大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖8,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若大正方形的面積為13,每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5,求中間小正方形的面積.
(2)現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm,寬為2cm的紙片,如圖9,請(qǐng)你將它分割成6塊,再拼合成一個(gè)正方形.(要求:先在圖9中畫(huà)出分割線,再畫(huà)出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】a是一個(gè)兩位數(shù),b是一個(gè)三位數(shù),把a放在b的右邊組成一個(gè)五位數(shù),用a,b的代數(shù)式表示所得的五位數(shù)是( )
A. ba B. 10b+a C. 10000b+a D. 100b+a
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)|﹣2|﹣(2﹣π)0++(﹣2)3
(2)(﹣2x3)2(﹣x2)÷[(﹣x)2]3
(3)(x+y)2(x﹣y)2
(4)(x﹣2y+3z)(x+2y﹣3z)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B(﹣2,2),過(guò)反比例函數(shù)y=(x<0,常數(shù)k<0)圖象上一點(diǎn)A(﹣,m)作y軸的平行線交直線l:y=x+2于點(diǎn)C,且AC=AB.
(1)分別求出m、k的值,并寫(xiě)出這個(gè)反比例函數(shù)解析式;
(2)發(fā)現(xiàn):過(guò)函數(shù)y=(x<0)圖象上任意一點(diǎn)P,作y軸的平行線交直線l于點(diǎn)D,請(qǐng)直接寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系 ;
應(yīng)用:①如圖2,連接BD,當(dāng)△PBD是等邊三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
②如圖3,分別過(guò)點(diǎn)P、D作y的垂線交y軸于點(diǎn)E、F,問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得矩形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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