Question

如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角△ABC和△AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)加以證明．
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出自變量n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；
（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA，因?yàn)橄嗨迫�角形的�?duì)應(yīng)邊成比例，所以，

AB

CD

=

BE

AC

，再把已知數(shù)據(jù)代入求解即可．

解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠BAE=45°
∴△ABE∽△DAE．

（2）由（1）可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，則有△ABE∽△DCA．
∴

AB

CD

=

BE

AC

又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，
∴AB=AC=

2

，又BE=m，CD=n，
∴

2

n

=

m

2

，即mn=2，或m=

2

n

（1＜n＜2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定（判定定理有：AA、SSS、SAS等）與性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）和反比例函數(shù)的一般應(yīng)用．