【題目】閱讀理解:如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.垂美四邊形有如下性質(zhì):

垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.

已知:如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E.

求證:AD2+BC2=AB2+CD2

證明:四邊形ABCD是垂美四邊形

∴AC⊥BD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2

∴AD2+BC2=AB2+CD2

拓展探究:

(1)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由.

(2)如圖3,在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),分別以AB,AC為底邊,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,F(xiàn)E,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀,并說明理由;

問題解決:

如圖4,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5.求GE長(zhǎng).

【答案】拓展探究:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,理由詳見解析;(2)四邊形FMAN是矩形,理由詳見解析;問題解決:.

【解析】

(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理可得直線AC是線段BD的垂直平分線,進(jìn)而得證;

(2)首先猜想出結(jié)論,根據(jù)垂直的定義可得∠AOD=AOB=BOC=COD=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,進(jìn)而證得猜想,將已知代入即可求得CD;

(3)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算即可.

拓展探究:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,

理由如下:

AB=AD

∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,

CB=CD,

∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,

∴直線AC是線段BD的垂直平分線,

ACBD,即四邊形ABCD是垂美四邊形.

2)四邊形FMAN是矩形,

理由:如圖3,連接AF,

RtABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),

AF=CF=BF,

又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE

AD=DB、AE=CE

∴由(1)可得,DFAB,EFAC,

又∵∠BAC=90°,

∴∠AMF=MAN=ANF=90°,

∴四邊形AMFN是矩形;

問題解決:

連接CG、BE

∵∠CAG=BAE=90°

∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE,

∵在GABCAE中,AG=AC,∠GAB=CAE,AB=AE,

∴△GAB≌△CAE,

∴∠ABG=AEC,

又∠AEC+AME=90°,

∴∠ABG+AME=90°,即CEBG,

∴四邊形CGEB是垂美四邊形,

CG2+BE2=CB2+GE2,

AC=4AB=5,

BC=3,CG=,BE=,

GE2=CG2+BE2CB2=73,

GE=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知關(guān)于x的方程x2+(k+3)x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍;

(2)若方程兩根為x1,x2,那么是否存在實(shí)數(shù)k,使得等式=﹣1成立?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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A、2個(gè)B、3個(gè)

C4個(gè)D、5個(gè)

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【題目】閱讀探索

問題背景:著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把數(shù)形關(guān)系(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他星球進(jìn)行第一次談話的語言.20028月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖1所示).勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理,它有很多種證明方法,我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積進(jìn)行了證明.

趙爽證明方法如下:

a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于,把這四個(gè)直角三角形拼成如圖1所示形狀.

RtDAERtABF

∴∠EDA=FAB

∵∠EAD+EDA=90°

∴∠FAB+EAD=90°

∴四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,它的面積等于

EF=FG=GH=HE=b-a

HEF=90°

∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形,它的面積等于

從而證明了勾股定理.

思維拓展:

1、如果大正方形的面積為13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,那么的值為 .

2、美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法,如圖2所示,

他用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出了一個(gè)直角梯形,請(qǐng)你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.

證明:∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示:

第一種方法表示為:

第二種方法表示為:

=

探索創(chuàng)新:

用紙做成四個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊的長(zhǎng)分別為ab,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你開動(dòng)腦筋,將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形(不同于上面圖1和圖2.請(qǐng)畫出你拼成的圖形,并用你畫的圖形證明勾股定理.

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1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所占的百分比是多少?

2)請(qǐng)將折線統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

3)學(xué)校團(tuán)委欲從課外閱讀量在10本以上的同學(xué)中隨機(jī)邀請(qǐng)兩位參加學(xué)校舉辦的書香致遠(yuǎn) 墨卷至恒主題讀書日的形象大使,請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖的方法,求所選出的兩位同學(xué)恰好都是女生的概率.

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1)求yx的函數(shù)關(guān)系式;

2)若在購(gòu)買計(jì)劃中,B種苗的數(shù)量不超過35棵,但不少于A種苗的數(shù)量,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)買方案,使總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用.

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1)起點(diǎn)A與終點(diǎn)B之間相距多遠(yuǎn)?

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3)分別求甲、乙兩支龍舟隊(duì)的yx函數(shù)關(guān)系式;

4)甲龍舟隊(duì)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩支龍舟隊(duì)相距200米?

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【題目】如圖:在4×4的網(wǎng)格中存在線段AB,每格表示一個(gè)單位長(zhǎng)度,并構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系.

1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A   ,   ),B   ,   );

2)請(qǐng)?jiān)趫D中確定點(diǎn)C1,﹣2)的位置并連接AC、BC,則△ABC    三角形(判斷其形狀);

3)在現(xiàn)在的網(wǎng)格中(包括網(wǎng)格的邊界)存在一點(diǎn)P,點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)為整數(shù)(在格點(diǎn)上),連接PA、PB后得到△PAB為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)P   個(gè).

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