Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=﹣x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O﹣C﹣A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵一次函數(shù)y=﹣x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．

∴ ，

解得： ，

∴A點坐標為：（3，4）；

∵y=﹣x+7=0，

解得：x=7，

∴B點坐標為：（7，0）

（2）

解：①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4﹣t，BR=t，OR=7﹣t，

∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，

∴ （AC+BO）×CO﹣ AC×CP﹣ PO×RO﹣ AM×BR=8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t=16，

∴t2﹣8t+12=0，

解得：t1=2，t2=6（舍去），

當t=4時，無法構(gòu)成三角形，

當4＜t＜7時，S△APR= AP×OC=2（7﹣t）=8，解得t=3，不符合4＜t＜7；

綜上所述，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l交于一點D，當l與AB相交于Q，

∵一次函數(shù)y=﹣x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，

∴NO=OB，

∴∠OBN=∠ONB=45°，

∵直線l∥y軸，

∴RQ=RB，CD⊥L，

當0≤t＜4時，如圖1，

RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4﹣t），AC=3，PC=4﹣t，

∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，

∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，

∴9+（4﹣t）2=2（4﹣t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），

當AP=PQ時 32+（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t=4 （舍去）

當PQ=AQ時，2（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t1=1+3 （舍去），t2=1﹣3 （舍去），

當t=4時，無法構(gòu)成三角形，

當4＜t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，

設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t﹣4，AP=7﹣t，

由cos∠OAC= = ，

得AQ= （t﹣4），

若AQ=AP，則 （t﹣4）=7﹣t，解得t= ，

當AQ=PQ時，AE=PE，即AE= AP，

得t﹣4= （7﹣t），

解得：t=5，

當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F，

AF= AQ= × （t﹣4），

在Rt△APF中，由cos∠PAF= = ，

得AF= AP，

即 × （t﹣4）= （7﹣t），

解得：t= ，

綜上所述，當t=1、5、 、 時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)圖象與坐標軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點坐標；（2）①利用S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；②根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出，∠OBN=∠ONB=45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
【考點精析】掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．