如圖所示,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),DE∥BC,如圖①,然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到圖②,然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到圖③,請解答下列問題:

(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系:

①在圖②中,BD與CE的數(shù)量關(guān)系是________________;

②在圖③中,猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到圖④,請繼續(xù)探究:AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想,不必證明.

 

【答案】

(1)①BD=CE; 

②AM=AN,∠MAN=∠BAC  理由如下:

∵在圖①中,DE//BC,AB=AC

∴AD=AE.

在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE.

∴BD=CE,∠ACE=∠ABD.

在△DAM與△EAN中,

∵DM=BD,EN=CE,BD=CE,∴DM=EN,∵∠AEN=∠ACE+∠CAE,∠ADM=∠ABD+∠BAD,∴∠AEN=∠ADM.

又∵AE=AD,∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN,∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.

∴AM=AN,∠MAN=∠BAC.            

(2)AM=kAN,∠MAN=∠BAC.

【解析】(1)①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AEC≌△ADB,所以BD=CE;

②根據(jù)題意可知∠CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD≌△CAE,在△ABM和△ACN中,

DM=BD,EN=CE,可證△ABM≌△ACN,所以AM=AN,即∠MAN=∠BAC.

(2)直接類比(1)中結(jié)果可知AM=k•AN,∠MAN=∠BAC.

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,∠A=47°,∠C=77°,DE∥BC,BF平分∠ABC,BF交DE于點(diǎn)F,求∠BFE的度數(shù).

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精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是線段BC延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交ED的延長線于點(diǎn)F,連接AE,CF.
求證:(1)四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)FG•BE=CE•AE.

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15、如圖所示,在△ABC中,DM、EN分別垂直平分AB和AC,交BC于D、E,若∠DAE=50°,則∠BAC=
115
度,若△ADE的周長為19cm,則BC=
19
cm.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,DE是邊AB的垂直平分線,交AB于E,交AC于D,若△BCD的周長為18cm,△ABC的周長為30cm,那么BE的長為
 

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如圖所示,在△ABC中,BC=7cm,AB=25cm,AC=24cm,P點(diǎn)在BC上從B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(不包括點(diǎn)C),點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2cm∕s;Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)向點(diǎn)A運(yùn)動(不包括點(diǎn)A),運(yùn)動速度為5cm∕s,若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動,請解答下面的問題,并寫出主要過程.
(1)經(jīng)過多長時(shí)間后,P、Q兩點(diǎn)的距離為5
2
cm?
(2)經(jīng)過多長時(shí)間后,△PCQ面積為15cm2?

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