Question

一條拋物線y=

1

4

x²+mx+n經過點（0，

3

2

）與（4，

3

2

）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標；
（2）現有一半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將已知點的坐標代入拋物線中即可得出二次函數的解析式．進而可求出拋物線的頂點坐標；
（2）本題要分兩種情況進行討論：
①當圓與y軸相切時，那么圓心的橫坐標的絕對值為1，可將其橫坐標（分正負兩個）代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標；
②當圓與x軸相切時，那么圓心的縱坐標的絕對值為1，然后仿照①的方法即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）由拋物線過（0，

3

2

），（4，

3

2

）兩點，
得

n= 3 2 1 4 ×42+4m+n= 3 2

，
解得

m=-1 n= 3 2

．
∴拋物線的解析式是：y=

1

4

x²-x+

3

2

，（3分）
由y=

1

4

x²-x+

3

2

=

1

4

（x-2）²+

1

2

，得拋物線的頂點（2，

1

2

）；

（2）設點P的坐標為（x₀，y₀）
①當圓P與y軸相切時，有|x₀|=1，
∴x₀=±1
由x₀=1，得y₀=

1

4

×1-1+

3

2

=

3

4

由x₀=-1，得y₀=

1

4

×（-1）²-（-1）+

3

2

=

11

4

此時，點P的坐標為P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

）；
②當圓P與x軸相切時，有|y₀|=1
∵拋物線的開口向上，頂點在x軸的上方，y₀＞0，∴y₀=1
由y₀=1，得

1

4

x₀²-x₀+

3

2

=1
解得x₀=2±

2

此時，點P的坐標為P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）
綜上所述，圓心P的坐標為P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

），P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定以及切線的判定，要注意的是（2）題中要分與x軸相切和與y軸相切兩種情況進行討論，不要漏解．