Question

【題目】如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．

（1）求圖①中∠APN的度數(shù)（寫出解題過程）；

（2）寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖③中∠APN的度數(shù)；

（3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫答案）

Answer 1

【答案】（1）∠APN=∠ABC=60°；（2）圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；（3）∠APN=．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC為等邊三角形可知∠ABC=60°，再由等速運(yùn)動(dòng)可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性質(zhì)可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代換可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度數(shù)；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等，圖③中∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等；

（3）結(jié)合（1）（2）可得到∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，可得到結(jié)論．

解：（1）∠APN=60°．

∵∠APN=∠ABP+∠BAP，

且點(diǎn)M、N以相同的速度中⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，

∴=，

∴∠ABP=∠NBC，

∴∠APN=∠ABP+∠NBC，

即∠APN=∠ABC=60°；

（2）同理：圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；

（3）由（1）（2）可知∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，

當(dāng)正多邊形為n邊形時(shí)，其內(nèi)角和為（n﹣2）180°，

所以每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，

所以∠APN=．