【題目】如圖1,正方形CEFG繞正方形ABCD的頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),連接AF,點(diǎn)MAF中點(diǎn).

1)當(dāng)點(diǎn)GBC上時(shí),如圖2,連接BM、MG,求證:BM=MG;

2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)B、GF三點(diǎn)在同一直線上,若AB=5CE=3,則MF=    

3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)G在對(duì)角線AC上時(shí),連接DG、MG,請(qǐng)你畫出圖形,探究DG、MG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2;(3DG=MG,理由見解析.

【解析】

(1)連接MG并延長(zhǎng)交ABN點(diǎn),證明△ANM≌△FGM后得到MG=MN,AN=CG,進(jìn)而得到BN=BG,得到△ANG為等腰直角三角形,即可證明MG=MB.

(2)分兩種情況畫出圖形再利用(1)中的思路結(jié)合勾股定理即可求解.

(3)先畫出圖形,然后證明△ADG≌△ABG,得到DG=BG,又△BMG為等腰直角三角形,故而得到DG=BG=MG.

解:(1) 連接MG并延長(zhǎng)交ABN點(diǎn),如下圖所示:

GFAN,

∴∠NAM=GFM

在△ANM和△FGM

,∴△ANM≌△FGM(ASA)

MG=MN,CG=GF=AN

AB-AN=BC-CG

NB=GB

∴△NBG為等腰直角三角形

MNG的中點(diǎn)

∴由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知:

故有:MG=MB.

(2)分類討論:

情況一:當(dāng)B、G、F三點(diǎn)在正方形ABCD外同一直線上時(shí)

延長(zhǎng)MGN點(diǎn),并使得MG=MN,連接AN,BN

,∴△AMN≌△FMG(SAS)

AN=GF=GC,∠NAM=GFM

ANGF

∴∠NAB+ABG=180°

又∠ABC=90°

∴∠NAB+CBG=90°

又在△BCG中,∠BCG+CBG=90°

∴∠NAB=BCG

∴在△ABN中和△CBG中:,∴△ABN≌△CBG(SAS)

BN=BG,∠ABN=CBG

∴∠ABC=NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形,且∠BGN=45°

RtBCG中,

M點(diǎn)作MHBGH點(diǎn),∴△MHB為等腰直角三角形

MH=BH=HG=BG=2

RtMFH中,

情況二:當(dāng)B、GF三點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)同一直線上時(shí)

如下圖所示,延長(zhǎng)MGMN,并使得MG=MN,連接NA、NB,

同情況一中證明思路,

,△AMN≌△FMG(SAS)

AN=GF=GC,∠NAM=GFM

ANGF

∴∠NAB=ABG

又∠ABG+GBC=90°

GBC+BIF=90°

∴∠BIF=ABG

又∠BIF=BCG,∠ABC=NAB

∴∠NAB=GCB

∴在△ABN中和△CBG中:,∴△ABN≌△CBG(SAS)

BN=BG,∠ABN=CBG

∴∠ABC=NBG=90°

∴△NBG是等腰直角三角形,且∠BGN=45°

在△BCG中,

M點(diǎn)作MHBGH點(diǎn),∴△MHB為等腰直角三角形

MH=BH=HG=BG=2

HF=HG-GF=2-1=1

RtMFH中,

故答案為:

(3)由題意作出圖形如下所示:

DG、MG的數(shù)量關(guān)系為:DG=MG,理由如下:

G點(diǎn)在AC

∴∠DAG=BAG=45°

在△ADG和△ABG中:

,∴△ADG≌△BAG(SAS)

DG=BG

又由(2)中的證明過程可知:△MBG為等腰直角三角形

BG=MG

DG=MG

故答案為:DG=MG.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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