Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（2，0）為圓心的⊙M與y軸相切于原點O，過點B（-2，0）作⊙M的切線，切點為C，拋物線y=-

3

3

x2+bx+c經(jīng)過點B和點M．
（1）求這條拋物線解析式；
（2）求點C的坐標，并判斷點C是否在（1）中拋物線上；
（3）動點P從原點O出發(fā)，沿y軸負半軸以每秒1個單位長的速度向下運動，當運動t秒時到達點Q處．此時△BOQ與△MCB全等，求t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可確定該拋物線的解析式．
（2）連接圓心和切點、再過點C作x軸的垂線，利用射影定理和勾股定理即可確定點C的坐標，再代入（1）的拋物線中進行驗證即可．
（3）△BCM和△BOQ中，OB=CM、∠BOQ=∠BCM=90°，若兩個三角形全等，必須滿足OQ=BC，求出BC長即可．

解答：解：（1）將點M（2，0）、B（-2，0）代入 y=-

3

3

x²+bx+c 中，得：

- 4 3 3 +2b+c=0 - 4 3 3 -2b+c=0

，解得

b=0 c= 4 3 3

∴拋物線的解析式：y=-

3

3

x²+

4 3

3

．

（2）連接MC，則MC⊥BC；過點C作CD⊥x軸于D，如右圖．
在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM=2，BM=4，則：
DM=

CM2

BM

=

22

4

=1，CD=

CM2-DM2

=

22-1

=

3

，OD=OM-DM=1；
∴C（1，

3

）
當x=1時，y=-

3

3

x²+

4 3

3

=

3

，所以點C在（1）的拋物線上．

（3）△BCM和△BOQ中，OB=CM=2，∠BOQ=∠BCM=90°，若兩三角形全等，則：
OQ=BC=

BM2-CM2

=

42-22

=2

3

∴當t=2

3

時，△MCB和△BOQ全等．

點評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、直線與圓的位置關系以及全等三角形的判定和性質，屬于基礎知識的綜合應用，難度不大．