Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為AB上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓弧與BC相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AE=2，DC=$\sqrt{2}$，求圓弧的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，則可得OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ODA=∠CAD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ODA=∠OAD，問題得證；
（2）過O作OH⊥AC于H，根據(jù)垂徑定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=$\sqrt{2}$，在RtAOH中，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OD，

∵BC為切線，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）解：
如圖2，過O作OH⊥AC于H，

則AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
結(jié)合（1）可知四邊形OHCD為矩形，
∴OH=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOH中，由勾股定理可得OA=$\sqrt{A{H}^{2}+H{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即圓弧的半徑為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．