Question

已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上．
（1）如圖，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，畫出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不謝畫法，但要保留畫圖痕跡）；
（2）若正三角形ABC的邊長為3+2

3

，則（1）中畫出的正方形E′F′P′N′的邊長為

 

．

Answer 1

分析：（1）利用位似圖形的性質，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示；
（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關線段之間的關系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長．

解答：解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．

（2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x，
∵△ABC為正三角形，
∴AE′=BF′=

3

3

x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+

3

3

x+

3

3

x=3+2

3

，
∴解得：x=3，
故答案為：3．

點評：本題考查了以位似變換、正三角形、正方形、直角三角形邊角性質等重要知識點，有一定的難度．