【題目】如圖,已知拋物線m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上,并過點(diǎn)B(0,1),直線n:y=﹣x+與x軸交于點(diǎn)D,與拋物線m的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)F,過B點(diǎn)的直線BE與直線n相交于點(diǎn)E(﹣7,7).
(1)求拋物線m的解析式;
(2)P是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若以B,E,P為頂點(diǎn)的三角形的周長最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)拋物線m上是否存在一動(dòng)點(diǎn)Q,使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x+1;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,);(3)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(9,4)或(15,16).
【解析】試題分析:(1)拋物線頂點(diǎn)在x軸上則可得出頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,將解析式進(jìn)行配方就可以求出a的值,繼而得出函數(shù)解析式;(2)作出B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接EB′交l于點(diǎn)P,如圖所示,,三角形BEP為頂點(diǎn)的三角形的周長最小,再求出直線B′E的解析式,進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo);(3)先求出直線FD的解析式,結(jié)合以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D這個(gè)條件,明確∠FDG=90°,得出直線DG解析式的k值與直線FD解析式的k值乘積為﹣1,利用D點(diǎn)坐標(biāo)求出直線DG解析式,將點(diǎn)Q坐標(biāo)用拋物線解析式表示后代入DG直線解析式可求出點(diǎn)Q坐標(biāo).
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2﹣6ax+c(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上
∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a+1,則有﹣9a+1=0,解得a=
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),拋物線m的解析式為y=x2﹣x+1;
(2)∵點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)B′為(6,1)
∴連接EB′交l于點(diǎn)P,如圖所示
設(shè)直線EB′的解析式為y=kx+b,把(﹣7,7)(6,1)代入得
解得,
則函數(shù)解析式為y=﹣x+
把x=3代入解得y=,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,);
(3)∵y=﹣x+與x軸交于點(diǎn)D,
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(7,0),
∵y=﹣x+與拋物線m的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)F,
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(3,2),
求得FD的直線解析式為y=﹣x+,若以FQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D,可得∠FDQ=90°,則DQ的直線解析式的k值為2,
設(shè)DQ的直線解析式為y=2x+b,把(7,0)代入解得b=﹣14,則DQ的直線解析式為y=2x﹣14,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,),把點(diǎn)Q代入y=2x﹣14得
=2a﹣14
解得a1=9,a2=15.
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(9,4)或(15,16).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),且BE=DF,連接EF交BD于O.
(1)求證:EO=FO;
(2)若EF⊥AB,延長EF交AD的延長線于G,當(dāng)FG=1時(shí),求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊,其中有兩塊是邊長都是m的大正方形,兩塊是邊長都為n的小正方形,五塊是長為m,寬為n的相同的小矩形,且m>n.(以上長度單位:cm)
(1)觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為 ;
(2)若每塊小矩形的面積為10cm,四個(gè)正方形的面積和為58cm,試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備,這兩種教學(xué)設(shè)備的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示:
A | B | |
進(jìn)價(jià)(萬元/套) | 1.5 | 1.2 |
售價(jià)(萬元/套) | 1.65 | 1.4 |
該商場計(jì)劃購進(jìn)兩種教學(xué)設(shè)備若干套,共需66萬元,全部銷售后可獲毛利潤9萬元。
(毛利潤=(售價(jià) - 進(jìn)價(jià))×銷售量)
(1)該商場計(jì)劃購進(jìn)A,B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備各多少套?
(2)通過市場調(diào)研,該商場決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上,減少A種設(shè)備的購進(jìn)數(shù)量,增加B種設(shè)備的購進(jìn)數(shù)量,已知B種設(shè)備增加的數(shù)量是A種設(shè)備減少數(shù)量的1.5倍。若用于購進(jìn)這兩種教學(xué)設(shè)備的總資金不超過69萬元,問A種設(shè)備購進(jìn)數(shù)量至多減少多少套?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分解因式b2(x﹣3)+b(x﹣3)的正確結(jié)果是( 。
A.(x﹣3)(b2+b)
B.b(x﹣3)(b+1)
C.(x﹣3)(b2﹣b)
D.b(x﹣3)(b﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng),活動(dòng)后,就活動(dòng)的5個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名?
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).
(3)如果要在這5個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)(2)中調(diào)查結(jié)果,用樹狀圖或列表法,求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、E).
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