【題目】如圖①,△ABC與△CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點,連接AE、BD.

(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;
(2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),得到圖②,AE與MP、BD分別交于點G、H.請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
(3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖③,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】
(1)

解:PM=PN,PM⊥PN,理由如下:

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,

∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.

在△ACE和△BCD中

,

∴△ACE≌△BCD(SAS),

∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點,

∴PM= BD,PN= AE,

∴PM=PM,

∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,

∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°,

∴∠MPA+∠NPC=90°,

∴∠MPN=90°,

即PM⊥PN;


(2)

解:∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,

∴AC=BC,EC=CD,

∠ACB=∠ECD=90°.

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.

∴∠ACE=∠BCD.

∴△ACE≌△BCD.

∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.

又∵∠AOC=∠BOE,

∠CAE=∠CBD,

∴∠BHO=∠ACO=90°.

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點,

∴PM= BD,PM∥BD;

PN= AE,PN∥AE.

∴PM=PN.

∴∠MGE+∠BHA=180°.

∴∠MGE=90°.

∴∠MPN=90°.

∴PM⊥PN.


(3)

解:PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形,

∴∠ACB=∠ECD=90°.

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.

∴∠ACE=∠BCD.

∵BC=kAC,CD=kCE,

=k.

∴△BCD∽△ACE.

∴BD=kAE.

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點,

∴PM= BD,PN= AE.

∴PM=kPN.


【解析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN,由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN;(2)(1)中的結(jié)論仍舊成立,由(1)中的證明思路即可證明;(3)PM=kPN,由已知條件可證明△BCD∽△ACE,所以可得BD=kAE,因為點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點,所以PM= BD,PN= AE,進而可證明PM=kPN.

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∴a2﹣2ab+b2≥0,
∴a2+b2≥2ab.
乙:如圖1,兩個正方形的邊長分別為a、b(b≤a),如圖2,先將邊長為a的正方形沿虛線部分分別剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分,若再將Ⅰ、Ⅱ和邊長為b的正方形拼接成如圖3所示的圖形,可知此時圖3的面積為2ab,其面積小于或等于原來兩個正方形的面積和,故不等式a2+b2≥2ab成立.
則對于兩人的作業(yè),下列說法正確的是(

A.甲、乙都對
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C.甲不對,乙對
D.甲、乙都不對

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