Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線y=－++4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______ ；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?

Answer 1

（1）A（0,4） C（8,0）；（2）（0，4）、（8-2，）；（3）S=16．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)x=0和y=0分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，CD的長(zhǎng)度和直線AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三種情況分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）首先設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后列出面積的函數(shù)關(guān)系式，然后進(jìn)行求解．

試題解析：（1）A（0,4） C（8,0）

（2）易得D（3，0），CD=5， 設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：

解得：； ∴y=-x+4；

①DE=DC時(shí)，

∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）；

②過(guò)E點(diǎn)作EG⊥x軸于G點(diǎn)，當(dāng)DE=EC時(shí)，由DG=，

把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=， 可得；

③當(dāng)DC=EC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD， 則△CEG∽△CAO，

∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2，

∴（8-2，）；

綜上所述，符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)：（0，4）、（8-2，）

（3）如圖，過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點(diǎn)Q；

設(shè)P（m，-+m+4），則Q（m，-m+4）．

①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，

PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m，

S=+=×8×（-+2m）=-+16， ∴0＜S≤16；

②當(dāng)-2≤m＜0時(shí)，

PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m，

S=-=×8×（－2m）=-16，

∴0＜S＜20；

∴當(dāng)0＜S＜16時(shí)，0＜m＜8中有m兩個(gè)值，-2＜m＜0中m有一個(gè)值，此時(shí)有三個(gè)；

當(dāng)16＜S＜20時(shí)，-2＜m＜0中m只有一個(gè)值；

當(dāng)S=16時(shí)，m=4或m=4-4這兩個(gè)． 故當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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