Question

天天是一個(gè)動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)．他將正方體的表面全部涂上顏色．然后把正方體的每條棱2等分，再沿等分線把正方體切開，得到8個(gè)小正方體．通過觀察他發(fā)現(xiàn)：8個(gè)小正方體全是3個(gè)面涂有顏色的．
（1）天天又把另一個(gè)正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到了27個(gè)小正方體，表面涂色后，請你幫天天觀察推理：這27個(gè)小正方體中，有

8

個(gè)是3個(gè)面涂有顏色的，有

12

個(gè)是2個(gè)面涂有顏色的，還有

1

個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的．
（2）如果把正方體四等分呢？表面涂色后，有

8

個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的．
（3）通過上面的小實(shí)驗(yàn)，回答下面問題：現(xiàn)在有一個(gè)很大的正方體（足夠切），把每條棱都n等分后切開．?dāng)?shù)出各個(gè)面都沒有涂色的正方體數(shù)為125，請問，n=

7

．

Answer 1

分析：（1）正方體有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，最中間露不出來的那一個(gè)面無涂色，每個(gè)面的中間一塊涂色1面，8個(gè)頂點(diǎn)上的面三面涂色．
（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)棱四等分時(shí)的所得小正方體表面涂色情況；
（3）根據(jù)已知圖形中沒有涂色的小正方形個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）共有27個(gè)面，最中間露不出來的那一個(gè)面無涂色，個(gè)數(shù)為1，每個(gè)面的中間一塊涂色1面，個(gè)數(shù)為6，
8個(gè)頂點(diǎn)上的面三面涂色，個(gè)數(shù)為8，
其余兩面涂色，個(gè)數(shù)為12，
故答案為：8，12，1；

（2）由題意可得出：有8個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的；
故答案為：8；

（3）根據(jù)正方體的棱三等分時(shí)有1個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的，
正方體的棱四等分時(shí)有8個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的，
∴正方體的棱n等分時(shí)有（n-2）³個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的，
∴（n-2）³=125，
解得：n=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了立體圖形的認(rèn)識(shí)和用特殊歸納一般規(guī)律的方法．關(guān)鍵是通過正方體的特點(diǎn)來得到有關(guān)涂色情況的規(guī)律．