【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合),連接OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí),(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí),若∠BPO=15°,BP=4,請(qǐng)求出BQ的長.
【答案】(1)BQ=CP;(2)成立:PC=BQ;(3).
【解析】
試題(1)結(jié)論:BQ=CP.如圖1中,作PH∥AB交CO于H,可得△PCH是等邊三角形,只要證明△POH≌△QPB即可;
(2)成立:PC=BQ.作PH∥AB交CO的延長線于H.證明方法類似(1);
(3)如圖3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FC,連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=a,在Rt△PCE中,表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程,求出a即可解決問題;
試題解析:解:(1)結(jié)論:BQ=CP.
理由:如圖1中,作PH∥AB交CO于H.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,∴△CBO是等邊三角形,∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,∴∠CHP=∠CPH=60°,∴△CPH是等邊三角形,∴PC=PH=CH,∴OH=PB,∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP,∵∠OPQ=∠OCP=60°,∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,∴△POH≌△QPB,∴PH=QB,∴PC=BQ.
(2)成立:PC=BQ.理由:作PH∥AB交CO的延長線于H.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,∴△CBO是等邊三角形,∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,∴∠CHP=∠CPH=60°,∴△CPH是等邊三角形,∴PC=PH=CH,∴OH=PB,∵∠POH=60°+∠CPO,∠QPO=60°+∠CPQ,∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,∴△POH≌△QPB,∴PH=QB,∴PC=BQ.
(3)如圖3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FC,連接CF.
∵∠OPC=15°,∠OCB=∠OCP+∠POC,∴∠POC=45°,∴CE=EO,設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=a,在Rt△PCE中,PC= = =,∵PC+CB=4,∴,解得a=,∴PC=,由(2)可知BQ=PC,∴BQ=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x.
(1)在給定的平面直角坐標(biāo)系中,畫出這個(gè)函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍;
(3)若將此圖象沿x軸向左平移3個(gè)單位,再沿y軸向下平移1個(gè)單位,請(qǐng)直接寫出平移后圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,且CE=BC,連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到CF,連接EF.
(1)求證:△BDC≌△EFC;
(2)若EF∥CD,求證:∠BDC=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B是兩個(gè)工廠,L1、L2是兩條公路,現(xiàn)要在這一地區(qū)建一加油站,要求加油站到A、B兩廠的路程相等,且到兩條路的距離相等,請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)P.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王是“新星廠”的一名工人,請(qǐng)你閱讀下列信息:
信息一:工人工作時(shí)間:每天上午8:00—12:00,下午14:00—18:00,每月工作25天;
信息二:小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時(shí)間的關(guān)系見下表:
生產(chǎn)甲種產(chǎn)品數(shù)(件) | 生產(chǎn)乙種產(chǎn)品數(shù)(件) | 所用時(shí)間(分鐘) |
10 | 10 | 350 |
30 | 20 | 850 |
信息三:按件計(jì)酬,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50元,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80元;
信息四:該廠工人每月收入由底薪和計(jì)酬工資兩部分構(gòu)成,小王每月的底薪為1900元.請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品和一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘;
(2)2018年1月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60件,則小王該月收入最多是多少元?此時(shí)小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在線段AB上找一點(diǎn)C,C把AB分為AC和CB兩段,其中BC是較小的一段,如果BCAB=AC2,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割.為了增加美感,黃金分割經(jīng)常被應(yīng)用在繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域.如圖2,在“附中博識(shí)課程中”,小白菜們沿著紫禁城的中軸線,從內(nèi)金水橋走到了太和殿,領(lǐng)略了古代建筑的宏偉.太和門位于太和殿與內(nèi)金水橋之間靠近內(nèi)金水橋的一側(cè),三個(gè)建筑的位置關(guān)系滿足黃金分割.已知太和殿到內(nèi)金水橋的距離約為100丈,設(shè)太和門到太和殿之間的距離為x丈,要求x,則可列方程為________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△AOB中,∠OAB=90°,OA=AB,將Rt△AOB放置于直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱,連結(jié)BC,OC.雙曲線 (x>0)與OA邊交于點(diǎn)D、與AB邊交于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD是正方形;
(3)連結(jié)AC交OB于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G,交OA邊于點(diǎn)F,求四邊形OHGF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向240km的O處,以每小時(shí)30km的速度向南偏東60°的OB方向移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心150km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.
(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響?為什么?
(2)若A城受到臺(tái)風(fēng)的影響,求出受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:對(duì)于一個(gè)關(guān)于的一元二次方程(其中a≠0,a、b、c為常數(shù))的兩根分別為,,我們有如下發(fā)現(xiàn)①若,為整數(shù),則這個(gè)一元二次方程的判別式一定為完全平方數(shù);② ,滿足韋達(dá)定理:即,;
③韋達(dá)定理也有逆定理,即如果兩數(shù)和滿足如下關(guān)系:,,那么這兩個(gè)數(shù)和是方程()的兩個(gè)根.
請(qǐng)應(yīng)用上述材料解決以下問題:
(1)若實(shí)數(shù),是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根,
①當(dāng)時(shí),則 , ;
②若均為整數(shù)且,求的值;
(2)已知實(shí)數(shù)滿足,,求的值.
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