Question

【題目】已知：拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣3，0）、C（0，﹣2）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0），則

，

解得 ，

∴此拋物線的解析式為y= x2+ x﹣2；

（2）解：如圖，連接AC、BC．

因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，所以△PBC周長(zhǎng)最小，就是使PC+PB最�。�

B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴此直線的表達(dá)式為y=﹣ x﹣2，

把x=﹣1代入得y=﹣

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ）；

（3）解：S存在最大值，

理由：如圖，∵DE∥PC，即DE∥AC，

∴△OED∽△OAC，

∴ = ，即 = ，

∴OE=3﹣ m，OA=3，AE= m，

∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD

= ×3×2﹣ ×（3﹣ m）×（2﹣m）﹣ × m× ﹣ ×m×1

=﹣ m2+ m

=﹣ （m﹣1）2+

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大= ．

【解析】（1）已知拋物線過(guò)C（0，﹣2）點(diǎn)，那么c=﹣2；根據(jù)對(duì)稱軸為x=﹣1，因此﹣ =﹣1，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可得出拋物線的解析式；（2）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，由于A是B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，因此連接AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．可根據(jù)A，C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）△PDE的面積=△OAC的面積﹣△PDC的面積﹣△ODE的面積﹣△AEP的面積，△OAC中已知A，C的坐標(biāo)，可求出△OAC的面積．△PDC中以CD為底邊，P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，即可表示出△PDC的面積．△ODE中可先用m表示出OD的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ODE與△OAC相似，求出OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式可用m表示出△ODE的面積．△PEA中以AE為底邊（可用OE的長(zhǎng)表示出AE），P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可表示出△PEA的面積．由此可表示出△ODE的面積，即可得出關(guān)于S，m的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出三角形的最大面積以及對(duì)應(yīng)的m的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．