Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于AB之間，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，△PCE的面積為S，請求出S關(guān)于x的解析式，并求△PCE面積的最大值；
（3）點(diǎn)為D（﹣2，0），若點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M點(diǎn)，能使△OMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）分別代入中，得： ，

∴a= ，b=1，

∴這個(gè)二次函數(shù)解析式為 ，C（0，﹣4）

（2）

解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則BP=2﹣x，S△ABC=

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△BPE∽△BAC，

∴ =（ ）2，即： =（ ）2，

∴ ，

又∵ ，

∴S△PCE=S△BCP﹣S△BPE=2（2﹣x）﹣ = ，

∴x=﹣1時(shí)，△PCE面積有最大值為3

（3）

解：存在M點(diǎn)．①如圖，過點(diǎn)D作DM垂直x軸交AC于M，

∵A（﹣4，0），C（﹣4，0），

∴DM=AD=2=DO，

∴M（﹣2，﹣2）；

②如圖，設(shè)DO的中垂線交AC于點(diǎn)M，則MD=MO，

由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知AC的解析式為y=﹣x﹣4，

將x=﹣1代入可得y=﹣3，

∴M（﹣1，﹣3）．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（﹣2，﹣2）

【解析】（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式直接求出a、b即可；（2）設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，由于PE∥AC，則△BPE和△BAC相似，根據(jù)面積比是相似比的平方得出△BPE的面積表達(dá)式，用△PCB的面積減去△BPE的面積就是S，再利用配方法求最值即可；（3）分兩種情況討論：①DO=DM；②MD=MO．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的概念的相關(guān)知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)，以及對二次函數(shù)的圖象的理解，了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．