【題目】如圖①P為△ABC所在平面上一點,且∠APBBPCCPA120°,則點P叫作△ABC的費馬點.

(1)如果點P為銳角△ABC的費馬點,且∠ABC60°.

①求證: ABP∽△BCP;

②若PA3PC4,求PB的長;

(2)如圖②,已知銳角△ABC,分別以ABAC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CEBD相交于點P,連接AP.

①求∠CPD的度數(shù);

②求證:點P為△ABC的費馬點.

【答案】1)見解析260° 3)見解析

(1)①證明:∵∠PABPBA180°APB60°,PBCPBAABC60°,∴∠PABPBC.又∵∠APBBPC120°,∴△ABP∽△BCP

②解:由①可知△ABP∽△BCP, ,PB2PA·PC12,PB2.

(2)①解:如圖,∵△ABE和△ACD是正三角形,∴AEABACAD,EAB560°.∵∠EACEABBAC,BADBAC5,∴∠EACBAD,∴△ACE≌△ADB,∴∠12.∵∠34,∴∠CPD560°.

②證明:由①可知∠1234,∴△ADF∽△PCF,AFPFDFCFAFDFPFCF.∵∠AFPCFD,∴△AFP∽△DFC,∴∠APFACD60°.由①可知∠CPD60°,∴∠APCCPDAPF120°,BPC180°CPD120°,∴∠APB360°BPCAPC120°,∴點P為△ABC的費馬點.

【解析】試題分析: ①由費馬點的定義可知∠APBBPC120°,然后再證明∠PABPBC即可證明ABP∽△BCP ②由①可知ABP∽△BCP,得到,即可求出的長.
如圖所示:①首先證明ACE≌△ADB,則∠12,由∠34可得到∠CPD560°.

②由∠CPD60°.可證明∠BPC180°CPD120°,然后證明ADF∽△PCF,由相似三角形的性質和判定定理再證明AFP∽△DFC,故此可得到∠APFACD60°,然后可求得∠APCCPDAPF120°,接下來可求得∠APB360°BPCAPC120°,即可說明.

試題解析:

(1)①∵∠PABPBA180°APB60°,PBCPBAABC60°

∴∠PABPBC.又∵∠APBBPC120°,

∴△ABP∽△BCP

②由①可知ABP∽△BCP,

PB2PA·PC12,

(2)①如圖,∵△ABEACD是正三角形,

AEABACAD,EAB560°.

∵∠EACEABBACBADBAC5,

∴∠EACBAD

∴△ACE≌△ADB

∴∠12.

∵∠34,

∴∠CPD560°.

②由①可知∠12,34,

∴△ADF∽△PCF,

AFPFDFCF

AFDFPFCF.

∵∠AFPCFD,

∴△AFP∽△DFC

∴∠APFACD60°.

由①可知∠CPD60°,

∴∠APCCPDAPF120°,

BPC180°CPD120°

∴∠APB360°BPCAPC120°,

∴點PABC的費馬點.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】觀察下列分解因式的過程:

x2+2ax﹣3a2

=x2+2ax+a2a2﹣3a2(先加上a2,再減去a2

=(x+a2﹣4a2(運用完全平方公式)

=(x+a+2a)(x+a﹣2a )(運用平方差公式)

=(x+3a)(xa

像上面那樣通過加減項配出完全平方式后再把二次三項式分解因式的方法,叫做配方法.

請你用配方法分解因式:m2﹣4mn+3n2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠A=90°,ABAC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點M是邊BC上一點,BM=3,點N是線段MC上的一個動點,連接DNME,DNME相交于點O.若△OMN是直角三角形,則DO的長是________________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知一個角的補角是128°37″那么這個角的余角是______________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一個多項式與x2﹣2x+1的和是2x﹣3,則這個多項式為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報名到農(nóng)村中學支教.

(1)若從甲、乙兩校報名的教師中分別隨機選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是

(2)若從報名的4名教師中隨機選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名教師來自同一所學校的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】求下列各式中x的值:

(1)(x2)225; (2)8(1x)327

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】計算(a2b)3的結果是(

A. a3bB. a6b3C. a5b3D. a2b3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即 .利用上述結論可以求解如下題目.如:

中,若∠A=45°,∠B=30°,a=6,求b.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案