Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC= ，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）24

【解析】

（1）由PD切⊙O于點C，AD與過點C的切線垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；
（2）由AD⊥PD，AB為⊙O的直徑，易證得CE平分∠ACB，繼而可得∴∠PFC=∠PCF，即可證得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先連接AE，易得AE=BE，即可求得AB的長，繼而可證得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．

（1）∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．

（3）連接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴

．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AB＝＝14．
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴

．
設(shè)PC=4k，PB=3k，則在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6（k=0不合題意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．