【題目】定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段,且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方,則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,△ABC中,點D是BC邊上一點,連結(jié)AD,若,則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.
(1)如圖2,△ABC的頂點是網(wǎng)格圖的格點,請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.
(2)△ABC中,BC=9,,,點D是BC邊上的“好點”,求線段BD的長.
(3)如圖3,△ABC是的內(nèi)接三角形,OH⊥AB于點H,連結(jié)CH并延長交于點D.
①求證:點H是△BCD中CD邊上的“好點”.
②若的半徑為9,∠ABD=90°,OH=6,請直接寫出的值.
【答案】(1)詳見解析;(2)或5;(3)①詳見解析;②.
【解析】
(1)作AB邊上的垂線或中線即可;
(2)作AE⊥BC于點E,根據(jù)三角函數(shù)求出BE、CE、AE的長,設(shè)DE為a,分①若點D在點E左側(cè)②若點D在點E右側(cè),根據(jù)“好點”的定義進行求解即可;
(3)①根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”證△AHC∽△DHB,再根據(jù)“好點”的定義判斷即可;
②連接AD,根據(jù)∠ABD=90°判斷AD為直徑,用勾股定理求出AH的長,再根據(jù)勾股定理求出DH的長,根據(jù)①中的結(jié)論求出CH的長即可求得比值.
(1)如圖所示:D點及為AB邊上的“好點”
(2)作AE⊥BC于點E,由,可設(shè)AE=4x,
則BE=3x,CE=6x,
∴BC=9x=9,∴,
∴BE=3,CE=6,AE=4,
設(shè)DE=a,
①若點D在點E左側(cè),
由點D是BC邊上的“好點”知,,
∴,即,
解得,(舍去),
∴.
②若點D在點E右側(cè),
由點D是BC邊上的“好點”知,,
∴,即,
解得,(舍去)
∴.
∴或5.
(3)①∵∠CHA=∠BHD,∠ACH=∠DBH
∴△AHC∽△DHB
∴,即
∵OH⊥AB
∴AH=BH
∴
∴點H是△BCD中CD邊上的“好點”.
②連接AD.
∵∠ABD=90°
∴AD為直徑,
∵OH⊥AB,OH=6
∴ ,BD=2OH=12
∴BH=AH=
∴
由①得:
即
∴CH=
∴.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,CD≠AB,點F在BC上,連DF與AB的延長線交于點G.
(1)求證:CFFG=DFBF;
(2)當(dāng)點F是BC的中點時,過F作EF∥CD交AD于點E,若AB=12,EF=8,求CD的長.
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【題目】(本題滿分8分)一個不透明的口袋中裝有2個紅球(記為紅球1、紅球2)、1個白球、1個黑球,這些球除顏色外都相同,將球搖勻.
(1)從中任意摸出1個球,恰好摸到紅球的概率是 ;
(2)先從中任意摸出1個球,再從余下的3個球中任意摸出1個球,請用列舉法(畫樹狀圖或列表)求兩次都摸到紅球的概率.
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【題目】(問題呈現(xiàn))阿基米德折弦定理:
如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,點M是的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中點,
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根據(jù)證明過程,分別寫出下列步驟的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解運用)如圖1,AB、BC是⊙O的兩條弦,AB=4,BC=6,點M是的中點,MD⊥BC于點D,則BD= ;
(變式探究)如圖3,若點M是的中點,(問題呈現(xiàn))中的其他條件不變,判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.
(實踐應(yīng)用)根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題:
如圖4,BC是⊙O的直徑,點A圓上一定點,點D圓上一動點,且滿足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半徑為5,求AD長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P(-1,2),AB⊥x軸于點E,正比例函數(shù)y=mx的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A,P兩點。
(1)求m,n的值與點A的坐標(biāo);
(2)求證:∽
(3)求的值
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中的兩個圖形與,給出如下定義:為圖形上任意一點,為圖形上任意一點,如果兩點間的距離有最小值,那么稱這個最小值為圖形間的“和睦距離”,記作,若圖形有公共點,則.
(1)如圖(1),,,⊙的半徑為2,則 , ;
(2)如圖(2),已知的一邊在軸上,在上,且,,.
①是內(nèi)一點,若、分別且⊙于E、F,且,判斷與⊙的位置關(guān)系,并求出點的坐標(biāo);
②若以為半徑,①中的為圓心的⊙,有,,直接寫出的取值范圍 。
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【題目】如圖,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓,點D是上一點,BD交AC于點E,若BC=4,AD=,則AE的長是( 。
A. 1 B. 1.2 C. 2 D. 3
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【題目】如圖,某校準備給長12米,寬8米的矩形室內(nèi)場地進行地面裝飾,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(菱形),區(qū)域Ⅱ(4個全等的直角三角形),剩余空白部分記為區(qū)域Ⅲ;點為矩形和菱形的對稱中心,,,,為了美觀,要求區(qū)域Ⅱ的面積不超過矩形面積的,若設(shè)米.
甲 | 乙 | 丙 | |
單價(元/米2) |
(1)當(dāng)時,求區(qū)域Ⅱ的面積.
(2)計劃在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ分別鋪設(shè)甲,乙兩款不同的深色瓷磚,區(qū)域Ⅲ鋪設(shè)丙款白色瓷磚,
①在相同光照條件下,當(dāng)場地內(nèi)白色區(qū)域的面積越大,室內(nèi)光線亮度越好.當(dāng)為多少時,室內(nèi)光線亮度最好,并求此時白色區(qū)域的面積.
②三種瓷磚的單價列表如下,均為正整數(shù),若當(dāng)米時,購買三款瓷磚的總費用最少,且最少費用為7200元,此時__________,
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=75°,BC=7,△ABC的面積為14,D為 BC邊上一動點(不與B,C重合),將△ABD和△ACD分別沿直線AB,AC翻折得到△ABE與△ACF,那么△AEF的面積最小值為_____.
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