Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”，圖1為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”Q的示意圖．

（1）如圖2，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”為點(diǎn)Q；

①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　 　；

②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　；

（2）如圖3，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)D在直線y＝2x﹣2上，若點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”E在坐標(biāo)軸上，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”是點(diǎn)B，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①（0，3）；②（﹣1，2）；（2）點(diǎn)D（﹣1，﹣4）或（，﹣1）；（3）．

【解析】

（1）①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （0，3），②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，2）；

（2）分當(dāng)點(diǎn)E（E′）落在x軸上、點(diǎn)E落在y軸兩種情況，分別求解即可；

（3）BO+BA＝

，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，﹣1）和點(diǎn)N（0，﹣1）的最小值，相當(dāng)于在直線y＝x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距離和最小，即可求解．

解：（1）①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （0，3），

故答案為：（0，3）；

②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，2），

故答案為：（﹣1，2）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E（E′）落在x軸上時(shí)，如圖1

則點(diǎn)D（D′）關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”在x軸上，點(diǎn)CD⊥x軸，

x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2﹣2＝﹣4，

故點(diǎn)D（﹣1，﹣4）；

②當(dāng)點(diǎn)E落在y軸時(shí)，如圖1：

設(shè)點(diǎn)D（m，2m﹣2），

點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)E在y軸上，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

則△CHD≌△EOC（AAS），

則DH＝OC＝1，即：2m﹣2＝﹣1，解得：m＝，

故點(diǎn)D（，﹣1），

綜上，點(diǎn)D（﹣1，﹣4）或（，﹣1）；

（3）如圖作BH⊥OH于H．

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），

由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，

則點(diǎn)B（m，1+m），

則：BO+BA＝

，

BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，﹣1）和點(diǎn)N（0，﹣1）的最小值，

相當(dāng)于在直線y＝x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距離和最小，

作M關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′（﹣1，0），

易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，

M′N＝＝，

故答案為：．