如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC,射線AB上有一點(diǎn)動(dòng)P(P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),以PC為邊作等邊△PDC,點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC同側(cè),E為AC中點(diǎn),連接AD、PE、ED.

(1)試探討四邊形ABCD的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),(不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),若BP=x,四邊形APED的面積是否為定值呢?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在第(2)問(wèn)的條件下,若BP=x,△PDE的面積為y,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出△PDE的面積的最小值,及取得最小值時(shí)x的取值.
分析:(1)點(diǎn)P的位置有兩種情況:①若點(diǎn)P在線段AB上,先利用SAS證明△ADC≌△BPC,得出∠DAC=∠B=∠BCA=60°,則AD∥BC.再由∠B+∠DCB<180°,得出DC與AB不平行,進(jìn)而得出四邊形ABCD是梯形;②若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,先證明P、D、A、C四點(diǎn)共圓,則∠DAP=∠DCP=60°=∠ABC,則AD∥BC.再由P點(diǎn)的位置不確定,得出BP與AB不一定相等,即AD與BC不一定相等,則當(dāng)BP≠AB時(shí),四邊形ADBC是梯形;當(dāng)BP=AB時(shí),四邊形ADBC是菱形;
(2)先由(1)知AD=BP=x,∠DAE=∠B=60°,再根據(jù)三角形的面積公式得到S△ADE=
1
2
AD•AE•sin∠DAE=
3
4
x,S△APE=
1
2
AP•AE•sin∠PAE=
3
2
-
3
4
x,然后求出S四邊形APED=S△ADE+S△APE=
3
2
,即可得到四邊形APED的面積是為定值;
(3)過(guò)P作DA延長(zhǎng)線的垂線PM,垂足為M.由三角形的面積公式求出S△ADP=
1
2
AD•PM=
3
2
x-
3
4
x2,根據(jù)S△PDE=S四邊形APED-S△ADP得出y=
3
4
x2-
3
2
x+
3
2
,運(yùn)用配方法寫成頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
解答:解:(1)點(diǎn)P的位置有兩種情況:
①若點(diǎn)P在線段AB上,如圖1,四邊形ABCD是梯形.理由如下:
∵△ABC與△CPD都是等邊三角形,
∴∠ACB=∠DCP=60°,
∴∠DCA=∠PCB,
又AC=BC,DC=PC,
∴△ADC≌△BPC,
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°,
∴AD∥BC.
又∠DCA=∠PCB<60°,
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠DCA+60°<120°,
∴∠B+∠DCB<180°,
∴DC與AB不平行,
∴四邊形ABCD是梯形;
②若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,如圖2,四邊形ADBC是梯形或菱形.理由如下:
∵∠PAC=∠PDC=60°,
∴P、D、A、C四點(diǎn)共圓,
∴∠DAP=∠DCP=60°,
∵∠ABC=60°,
∴∠DAP=∠ABC,
∴AD∥BC.
易證△ADC≌△BPC(SAS),
∴AD=BP,
∵點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,
∴P點(diǎn)的位置不確定,BP與AB不一定相等,
∵AB=BC,
∴AD與BC不一定相等,
當(dāng)BP≠AB時(shí),四邊形ADBC是梯形;
當(dāng)BP=AB時(shí),四邊形ADBC是菱形;

(2)四邊形APED的面積是為定值.理由如下:
由(1)知AD=BP=x,∠DAE=∠B=60°,
∵AB=2,∴AP=2-x.
∵S△ADE=
1
2
AD•AE•sin∠DAE=
1
2
x×1×
3
2
=
3
4
x,
S△APE=
1
2
AP•AE•sin∠PAE=
1
2
(2-x)×1×
3
2
=
3
2
-
3
4
x,
∴S四邊形APED=S△ADE+S△APE=
3
4
x+(
3
2
-
3
4
x)=
3
2
,
∴四邊形APED的面積是為定值;

(3)由(1)知∠BAD=120°,過(guò)P作DA延長(zhǎng)線的垂線PM,垂足為M,∠PAM=60°,∠APM=30°,
∴PM=
3
2
(2-x),
∴S△ADP=
1
2
AD•PM=
1
2
3
2
(2-x)=
3
2
x-
3
4
x2,
由題意,知S△PDE=S四邊形APED-S△ADP
∴y=
3
2
-(
3
2
x-
3
4
x2)=
3
4
x2-
3
2
x+
3
2
=
3
4
(x-1)2+
3
4
,
∴當(dāng)x=1時(shí),y有最小值
3
4
,
即當(dāng)x取1時(shí),△PDE的面積有最小值,最小值為
3
4
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),四點(diǎn)共圓的條件,梯形的判定,圖形的面積,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度較大.準(zhǔn)確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,B點(diǎn)位于第一象限,將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后,恰好點(diǎn)A落在雙曲線y=
kx
(x>0)上,如果等邊三角形OAB的A點(diǎn)再次落在雙曲線上,那么應(yīng)繼續(xù)至少按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
 
度后.

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(2)設(shè)ED=a,EB=b,問(wèn):在線段EF上是否存在點(diǎn)M,EM的長(zhǎng)m能使
x=a
y=b
是方程組
2(
5
+1)x-3
3
y=m2+p-8
(
5
+1)x-
2
3
3
y=m-2p
的解?若存在,求二次函數(shù)y=px2-2px+
p+pm
m
的最大值或最小值;若不存在,說(shuō)明理由.

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1.5
1.5

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