Question

7．在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH，若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1．
（1）①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；
（2）若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且∠AHQ=150°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路，（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②連接CH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出PD=CQ．作HR⊥PC于點(diǎn)R，由∠AHQ=150°，可得出∠AHB及∠DAH的度數(shù)，設(shè)DP=x，則DR=HR=RQ，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論

解答 解：（1）①如圖1；

②AH=PH，AH⊥PH．
如圖1，連接CH，
∵QH⊥BD，
∴∠QHB=∠BCQ=90°，
∴B、H、C、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠DHC=∠BQC，
由正方形的性質(zhì)可知∠DHC=∠AHD，
由平移性質(zhì)可知∠BQC=∠APD，
∴∠AHD=∠APD，
∴A、H、P、D四點(diǎn)共圓，
∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，
∴△HAP是等腰直角三角形，
∴AH=PH，AH⊥PH．

（2）
由（1）②可知∠AHP=90°，
∴∠AHP=∠ADP=90°，
∴A、H、D、P四點(diǎn)共圓，
又∠AHQ=150°，∠BHQ=90°，
∴∠AHB=150°-90°=60°，
由圓的性質(zhì)可知∠APD=∠AHB=60°，
在Rt△APD中，∠PAD=90°-60°=30°，
∴PD=AD•tan30°=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、圖形平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中，解決本題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理．