Question

如圖，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N，y軸上是否存在點(diǎn)P，使△MNP為等腰直角三角形．小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，y軸上存在點(diǎn)P（0，1），此時(shí)有MN=MP，能使△NMP為等腰直角三角形．那么，在y軸和直線上是否還存在符合條件的點(diǎn)P和點(diǎn)M呢？請(qǐng)你寫出其它符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

分析：由題意，應(yīng)分兩類情況討論：當(dāng)MN為直角邊時(shí)和當(dāng)MN為斜邊時(shí)．

解答：解：當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，ON=1，MN=1，
∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合條件的一個(gè)P點(diǎn)；
又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，
設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），
解得x=-3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）．
如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M（x，2x+3），
則有-x=-

1

2

（2x+3），
化簡得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn)；
又當(dāng)點(diǎn)M′在第二象限，M′N′為斜邊時(shí)，這時(shí)N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設(shè)點(diǎn)M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=

1

2

M′N′，
∴有-x=

1

2

（2x+3），
解得x=-

3

4

，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3

4

）．
因此，其他符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是（0，0），（0，

3

4

），（0，-3），（0，1）．
故本題答案為：（0，0），（0，

3

4

），（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要采用分類討論法，來求得符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．