Question

13．如圖，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角邊GE在CB的延長線上，E點與矩的B點重，∠FGE=90°，F(xiàn)G=3．將矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿著射線BC方向運動，當(dāng)點F恰好經(jīng)過BD時，將△EFG繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜90°），記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△E′F′G′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線E′G′與直線BC交于N，與直線BD交于M點，當(dāng)△BMN為以MN為底邊的等腰三角形時，F(xiàn)M的長為3$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 如圖，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足為T，求出RT、RC，利用△BTR∽△MG′F得$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，列出方程即可解決．

解答 解：如圖，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足為T，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在△BRT和△BRC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BTR}\\{∠RBT=∠RBC}\\{BR=BR}\end{array}\right.$，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，設(shè)RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD²+RT²=RD²，
∴x²+1²=（5-X）²，
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴BR=$\sqrt{B{T}^{2}+R{T}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{26}}{5}$，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，
∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，
∴$\frac{FM}{\frac{12\sqrt{26}}{5}}=\frac{3}{\frac{12}{5}}$，
∴FM=3$\sqrt{26}$．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵．