【題目】⊙O的半徑為5,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,點D在直線AB上.
(1)如圖(1),已知∠BCD=∠BAC,求證:CD是⊙O的切線;
(2)如圖(2),CD與⊙O交于另一點E.BD:DE:EC=2:3:5,求圓心O到直線CD的距離;
(3)若圖(2)中的點D是直線AB上的動點,點D在運動過程中,會出現(xiàn)C,D,E在三點中,其中一點是另外兩點連線的中點的情形,問這樣的情況出現(xiàn)幾次?

【答案】
(1)證明:如圖(1),連接OC,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

又∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA,

∴∠BCD+∠OCB=90°,即OC⊥CD,

∴CD是⊙O的切線


(2)解:∵∠ADE=∠CDB,∠BCD=∠EAD,

∴△BCD∽△EAD,

,

又∵BD:DE:EC=2:3:5,⊙O的半徑為5,

∴BD=2,DE=3,EC=5,

如圖(2),連接OC、OE,則△OEC是等邊三角形,

作OF⊥CE于F,則EF= CE= ,∴OF=

∴圓心O到直線CD的距離是


(3)解:這樣的情形共有出現(xiàn)三次:

當(dāng)點D在⊙O外時,點E是CD中點,有以下兩種情形,如圖1、圖2;

當(dāng)點D在⊙O內(nèi)時,點D是CE中點,有以下一種情形,如圖3.


【解析】(1)連接OC,根據(jù)弦切角定理和圓的性質(zhì)可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA,結(jié)合圓周角定理可求得∠OCD=90°,可證明CD是切線;(2)先證明△BCD∽△EAD,結(jié)合條件可求得BD=2,DE=3,EC=5,在△OBC中可求得O到CD的距離;(3)分點D在⊙O外和點D在⊙O內(nèi)兩種情況,當(dāng)D在⊙O外時又分D在A點左邊和D在B點右邊兩種情況,當(dāng)D在⊙O內(nèi)時只有一種,結(jié)合圖形可給出答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.

例如:因為,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:

(5,125)= ,(-2,4)= ,(-2,-8)= ;

(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象:,他給出了如下的證明:

設(shè),則,即

,即,

請你嘗試運用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由.

(4,5)+(4,6)=(4,30)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東42°方向上,它沿正東方向航行80海里后到達B處,此時燈塔C在它的北偏西55°方向上.

(1)求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離(結(jié)果精確到0.1);
(2)求海輪在B處時與燈塔C的距離(結(jié)果保留整數(shù)).
(參考數(shù)據(jù):sin55°≈0.819,cos55°≈0.574,tan55°≈1.428,tan42°≈0.900,tan35°≈0.700,tan48°≈1.111)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】【問題情境】

課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

如圖①,ABC中,若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD至點E,使DEAD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考:

(1)由已知和作圖能得到ADC≌△EDB,依據(jù)是

A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)由三角形的三邊關(guān)系可求得AD的取值范圍是

解后反思:題目中出現(xiàn)中點”、“中線等條件,可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中.

【初步運用】

如圖②ADABC的中線,BEACE,交ADF,且AEEF.若EF=3,EC=2,求線段BF的長.

【靈活運用】

如圖③,在ABC中, A=90°,DBC中點, DEDFDEAB于點E,DFAC于點F,連接EF.試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某班畢業(yè)聯(lián)歡會設(shè)計的即興表演節(jié)目的摸球游戲,游戲采用一個不透明的盒子,里面裝有五個分別標有數(shù)字1、2、3、4、5的乒乓球,這些球除數(shù)字外,其它完全相同,游戲規(guī)則是參加聯(lián)歡會的50名同學(xué),每人將盒子乒乓球搖勻后閉上眼睛從中隨機一次摸出兩個球(每位同學(xué)必須且只能摸一次).若兩球上的數(shù)字之和是偶數(shù)就給大家即興表演一個節(jié)目;否則,下個同學(xué)接著做摸球游戲,依次進行.

(1)用列表法或畫樹狀圖法求參加聯(lián)歡會同學(xué)表演即興節(jié)目的概率;

(2)估計本次聯(lián)歡會上有多少個同學(xué)表演即興節(jié)目.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠ABE=ACD=RtAE=AD,ABC=ACB.求證:∠BAE=CAD

請補全證明過程,并在括號里寫上理由.

證明:在ABC中,

∵∠ABC=ACB

AB= ( )

RtABERtACD中,

=AC, =AD

RtABERtACD( )

∴∠BAE=CAD( )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某縣為了了解初中生對安全知識掌握情況,抽取了50名初中生進行安全知識測試,并將測試成績進行統(tǒng)計分析,繪制成了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(未完成). 安全知識測試成績頻數(shù)分布表

組別

成績x(分數(shù))

組中值

頻數(shù)(人數(shù))

1

90≤x<100

95

10

2

80≤x<90

85

25

3

70≤x<80

75

12

4

60≤x<70

65

3


(1)完成頻數(shù)分布直方圖;
(2)這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第組;
(3)若將各組的組中值視為該組的平均成績,則此次測試的平均成績?yōu)?/span>;
(4)若將90分以上(含90分)定為“優(yōu)秀”等級,則該縣10000名初中生中,獲“優(yōu)秀”等級的學(xué)生約為人.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(問題探究)

(1)如圖①已知銳角△ABC,分別以AB、AC為腰,在△ABC的外部作等腰RtABDRtACE,連接CD、BE,是猜想CD、BE的大小關(guān)系_____________ ;(不必證明)

(深入探究)

(2)如圖②△ABC、ADE都是等腰直角三角形,點D在邊BC上(不與B、C重合),連接EC,則線段 BC,DC,EC 之間滿足的等量關(guān)系式為________________ ;(不必證明) 線段 AD2,BD2,CD2之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(拓展應(yīng)用)

(3)如圖③在四邊形 ABCD ,ABC=ACB=ADC=45°. BD=9,CD=3,

AD 的長.

① ② ③

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校舉行“社會主義核心價值觀”知識比賽活動,全體學(xué)生都參加比賽,學(xué)校對參賽學(xué)生均給與表彰,并設(shè)置一、二、三等獎和紀念獎共四個獎項,賽后將獲獎情況繪制成如下所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中所給的信息,解答下列問題:
(1)該校共有名學(xué)生;
(2)在圖①中,“三等獎”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是;
(3)將圖②補充完整;
(4)從該校參加本次比賽活動的學(xué)生中隨機抽查一名.求抽到獲得一等獎的學(xué)生的概率.

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