Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣4ax+3a交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線l1：y＝x+t于點(diǎn)Q．若恰好存在三個(gè)點(diǎn)P使得PQ＝，求證：直線l1過點(diǎn)A；

（3）在（2）的結(jié)論下，直線l1與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線l2：y＝kx+c（﹣4＜k＜﹣1）經(jīng)過點(diǎn)A，過線段AD上一點(diǎn)E（異于點(diǎn)A、D）作x軸的垂線，分別與直l2、拋物線交于點(diǎn)F、G．連接GD，作FH∥GD交直線l1于點(diǎn)H，求EH長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）見解析；（3）EH長的取值范圍為：2＜EH＜5．

【解析】

（1）y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x2﹣4x+3），則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：（1，0）、（3，0），則函數(shù)的對稱軸為：x＝2，頂點(diǎn)為：（2，1），即可求解；
（2）恰好存在三個(gè)點(diǎn)P使得PQ＝，則出現(xiàn)如圖所示的情況，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方只有一個(gè)，如圖P、Q點(diǎn)所示的情況，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)Q（x，x+t），PQ＝x+t﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+5x+t﹣3，因?yàn)?/span>1＜0，故PQ有最大值，此時(shí)，代入PQ，解得t的值，即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)E（m，m﹣1），則點(diǎn)G（m，m2﹣4m+3），點(diǎn)F（m，mk﹣k），點(diǎn)D（4，3），求出直線HF的表達(dá)式，聯(lián)立①②并解得：x＝m＋1k＝，求出EH，根據(jù)4＜k＜1，即可求得解．

（1）y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x2﹣4x+3），

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：（1，0）、（3，0），

則函數(shù)的對稱軸為：x＝2，頂點(diǎn)為：（2，﹣1），

則y＝a（x﹣2）2﹣1＝ax2﹣4ax+4a﹣1，

故3a＝4a﹣1，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）恰好存在三個(gè)點(diǎn)P使得PQ＝，則出現(xiàn)如圖所示的情況，

點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方只有一個(gè)，如圖P、Q點(diǎn)所示的情況，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)Q（x，x+t），

PQ＝x+t﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+5x+t﹣3，

∵﹣1＜0，故PQ有最大值，此時(shí)，

則，解得：t＝﹣1，

即y＝x﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，

所以直線l1過點(diǎn)A；

（3）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l2的表達(dá)式并解得：

直線l2的表達(dá)式為：y＝kx﹣k，

直線l1的表達(dá)式為：y＝x﹣1…①，

設(shè)點(diǎn)E（m，m﹣1），則點(diǎn)G（m，m2﹣4m+3），點(diǎn)F（m，mk﹣k），點(diǎn)D（4，3），

將點(diǎn)G、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：直線GD表達(dá)式中的k值為：，

FH∥GD，則設(shè)直線FH的表達(dá)式為：y＝mx+b，

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線HF的表達(dá)式為：y＝mx+（mk﹣k﹣m2）…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝m+1﹣k＝，

則EH＝（）＝（m+1﹣k﹣m）＝（1﹣k），

而﹣4＜k＜﹣1，則2＜EH＜5；

故EH長的取值范圍為：2＜EH＜5．