Question

25、設(shè)關(guān)于x的一次函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂，則稱函數(shù)y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）為此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；
（2）若函數(shù)y=a₁x+b₁與y=a₂x+b₂的圖象的交點(diǎn)為P，判斷點(diǎn)P是否在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目提供信息，直接將函數(shù)解析式代入即可求得函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；
（2）只要證出點(diǎn)P的坐標(biāo)符和生成函數(shù)的解析式即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=m（x+1）+n（2x），
=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），
∴m+n=1，
∴y=2；
（2）點(diǎn)P在此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
∵a₁×a+b₁=b，a₂×a+b₂=b，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂），
=m（a₁×a+b₁）+（a₂×a+b₂）
=mb+nb=b（m+n）=b，
即點(diǎn)P在此兩個(gè)函數(shù)的生成圖象上．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義信息題，難度不大，考查了同學(xué)們的閱讀理解和對(duì)新知識(shí)的接受能力，只要仔細(xì)閱讀，就可根據(jù)相關(guān)函數(shù)知識(shí)作出解答．