Question

如圖，點(diǎn)A是直線y=-2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，y軸上存在點(diǎn)C，能使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

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Answer 1

分析：等腰直角三角形可以以A、B、C任意一個(gè)為直角頂點(diǎn)，所以分三種情況討論．以A為直角頂點(diǎn)時(shí)AB=AC，以B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由于AB⊥x軸，所以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以C為頂點(diǎn)時(shí)，AC=BC，因A在直線上，AB⊥x軸，C在y軸，可列方程求得C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：以A、B、C為頂點(diǎn)的等腰直角三角形分為以A為直角頂點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)，以C為直角頂點(diǎn)三種情況．
設(shè)A（x，y），B（x，0），C（0，c），
（1）以A為直角頂點(diǎn)，則AB、AC為等腰的兩條邊，
∴若y=x=c．
由A在直線y=-2x+3得：x=-2x+3
∴x=1，y=1故得C（0，1）．
若y=-x=c的情況，
∴-x=-2x+3，解得x=3，
C的坐標(biāo)為（0，-3）

（2）以B為直角，則AB，BC為等腰的兩條邊，
∴C（0，0）．

（3）以C為直角，則AC，BC為等腰的兩條邊，
此時(shí)y²=2×（x²+c²），（y-c）²+x²=x²+c²，
又y=-2x+3，
∴聯(lián)立解得：c=

3

4

故得C（0，

3

4

）．
綜上所訴：C的所有可能值為（0，1）（0，0）（0，-3）（0，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是思維的緊密性及直線和等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)，考慮問(wèn)題一定要全面，分類(lèi)討論．