Question

已知：二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m為實(shí)數(shù)．
（1）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒數(shù)和為

2

3

，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：判斷二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3與x軸的交點(diǎn)情況，需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的判別式的符號(hào)．而已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），相當(dāng)于已知此方程兩根為x₁，x₂．可運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題，所求m的值不受限制，結(jié)果有兩個(gè)．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-2m-3）=4m²-8m+4-4m²+8m+12=16＞0，
∴不論m取何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²-2m-3，

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，
即

x1+x2

x1x2

=

2

3

，

2(m-1)

m2-2m-3

=

2

3

，
解得m=0或5，
二次函數(shù)解析式為：y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與一元二次方程根的情況之間的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用．