Question

（2012•瀘州）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A（0，

3

）、B（3，0），與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象在第一象限交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求該一次函數(shù)的解析式．
（2）若AC•AD=

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（0，

3

）、B（3，0）代入一次函數(shù)y=ax+b求出ab的值即可得出此函數(shù)的解析式；
（2）分別過點(diǎn)C、D作CE⊥y軸于E，DF⊥y軸于F，再由AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)判斷出∠ABO的度數(shù)，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式可得出x₁•x₂=

3

k，在Rt△ACE與Rt△ADF中可分別用x₁，x₂表示出AC及AD的長(zhǎng)，再由AC•AD=

3

即可求出k的值．

解答：解：（1）∵一此函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，

3

），（3，0），
∴

b= 3 3a+b=0

，解得

a=- 3 3 b= 3

，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-

3

3

x+

3

；

（2）分別過點(diǎn)C、D作CE⊥y軸于E，DF⊥y軸于F，
在Rt△AOB中，
∵AO=

3

，BO=3，
∴∠ABO=30°，
∵直線AB與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)C、D，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵

y=- 3 3 x+ 3 y= k x

，得x²-3x+

3

k=0，
∴x₁•x₂=

3

k，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x₁，
∴AC=

x1

3

•2=

2 3

3

x₁，
同理，在Rt△ADF中，AD=

x2

3

•2=

2 3

3

x₂，
∵AC•AD=

3

，
∴

2 3

3

x₁•

2 3

3

x₂=

3

，即x₁•x₂=

3 3

4

，
∴

3

k=

3 3

4

，
∴k=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．