如圖,邊長為6的正方OABC的頂點O在坐標(biāo)原點處,點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,點E是OA邊上的點(不與點A重合),EF⊥CE,且與正方形外角平分線AC交于點P.
(1)當(dāng)點E坐標(biāo)為(3,0)時,證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請說明理由;
(3)在y軸上是否存在點M,使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在,用t表示點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)方法一:在OC上截取OH=OE,可得△OEH是等腰直角三角形,然后求出∠CHE=135°,且CH=EA,再根據(jù)AG是正方形外角平分線可以求出∠EAP=135°,從而得到∠CHE=∠EAP,再根據(jù)EF⊥CE推出∠ECO=∠PED,然后利用“角邊角”證明△CHE和△EAP全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;
方法二:過點P作PD⊥x軸于點D,根據(jù)AG是正方形外角平分線可得△ADP是等腰直角三角形,設(shè)PD=x,用x表示出ED,再根據(jù)EF⊥CE推出∠ECO=∠PED,從而得到△CEO和△EPD相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出x的值,即可得證;
(2)方法一:與(1)求法相同;
方法二:與(1)同理求出PD的長度,即可得解;
(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(0,y),根據(jù)點的坐標(biāo)利用勾股定理分別表示出BM、ME、PE、PB的平方,再根據(jù)平行四邊形的對邊相等利用一組對邊列出方程求解,用t表示出y,然后代入另一組進行驗證,相等則能使四邊形BMEP是平行四邊形,否則不能使四邊形BMEP是平行四邊形.
解答:(1)證明:方法一:如圖1①,在OC上截取OH=OE,則△OEH是等腰直角三角形,
∠CHE=180°-45°=135°,
∵CH=OC-OH=6-3=3,EA=OA-OE=6-3=3,
∴CH=EA,
∵AG是正方形外角平分線,
∴∠EAP=90°+45°=135°,
∴∠CHE=∠EAP=135°,
∵EF⊥CE,
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°,
又∵∠ECO+∠CEO=90°,
∴∠ECO=∠PED,
在△CHE和△EAP中,
∠CHE=∠EAP=135°
CH=EA
∠ECO=∠PED
,
∴△CHE≌△EAP(ASA),
∴CE=EP;
方法二:如圖1②,過點P作PD⊥x軸于點D,
∵AG是正方形外角平分線,
∴△ADP是等腰直角三角形,
設(shè)PD=x,則AD=x,
∵點E坐標(biāo)為(3,0),正方形的邊長為6,
∴AE=6-3=3,
∴ED=3+x,
∵EF⊥CE,
∴∠CEO+∠PED=180°-90°=90°,
又∵∠ECO+∠CEO=90°,
∴∠ECO=∠PED,
又∠COE=∠PDE=90°,
∴△CEO∽△EPD,
CO
ED
=
OE
PD
,
6
3+x
=
3
x
,
解得x=3,
∴PD=OE=3,ED=OC=6,
故,根據(jù)勾股定理可得CE=EP;

(2)解:CE=EP仍然成立.
理由如下:
方法一:同(1)可求∠CHE=∠EAP=135°,∠ECO=∠PED,
又∵CH=OC-OH=6-t,EA=OA-OE=6-t,
∴CH=EA,
在△CHE和△EAP中,
∠CHE=∠EAP=135°
CH=EA
∠ECO=∠PED
,
∴△CHE≌△EAP(ASA),
∴CE=EP;
方法二:當(dāng)點E的坐標(biāo)為(t,0)時,與(1)同理,
6
6-t+x
=
t
x
,
整理得,t2-tx+6x-6t=0,
即(t-x)(t-6)=0,
∵點E是OA邊上的點(不與點A重合),
∴t≠6,
∴t-x=0,
解得x=t,
∴PD=OE=t,ED=6-t+t=6=OC,
根據(jù)勾股定理可得CE=EP;

(3)解:如圖2,∵點E(t,0),
∴PE2=CE2=CO2+OE2=36+t2,
PB2=t2+(6-t)2
設(shè)點M的坐標(biāo)為(0,y),
則ME2=t2+y2,BM2=62+(6-y)2,
∵四邊形BMEP是平行四邊形,
∴PE2=BM2,
即36+t2=62+(6-y)2
解得y1=6-t,y2=6+t,
當(dāng)y1=6-t時,ME2=t2+y2=t2+(6-t)2=PB2
∴ME=PB,
∴當(dāng)點M(0,6-t)時,四邊形BMEP是平行四邊形,
當(dāng)y2=6+t時,ME2=t2+y2=t2+(6+t)2≠PB2,
∴ME≠PB,
∴當(dāng)點M(0,6+t)時,四邊形BMEP不是平行四邊形,
綜上所述,y軸上存在點M(0,6-t)時,四邊形BMEP是平行四邊形.
點評:本題綜合考查了一次函數(shù),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的對邊相等,(3)根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程有技巧,要掌握.
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