Question

已知二次函數(shù)y＝x²—2x＋c（c為常數(shù)）．

（1）若該二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點，求c的取值范圍；

（2）已知該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（－1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點為D，若存在點P（m，0）（m＞3）使得△CDP與△BDP面積相等，求m的值．

Answer 1

解：（1）由題意可得，該二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，

也就是當y＝0時，方程x²—2x＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，

即b²－4ac＞0，所以4－4c＞0，c＜1．

又因為該二次函數(shù)與兩個坐標軸有三個不同的交點，所以c≠0．

綜上，若該二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點，

c的取值范圍為c＜1且c≠0．                                                                         4分

（2）因為點A（－1，0）在該二次函數(shù)圖象上，可得0＝(－1)²－2×(－1)＋c，c＝－3．

所以該二次函數(shù)的關系式為y＝x²—2x－3，可得C（0，－3）．

由x＝－＝1，可得B（3，0），D（1，－4）．

若點P（m，0）（m＞3）使得△CDP與△BDP面積相等，

可得點C、B到DP的距離相等，此時，CB∥DP．

設過點C、B的直線的函數(shù)關系式為y＝kx＋b，即解得

設過點D、P的直線的函數(shù)關系式為y＝x＋n，即－4＝1＋n．解得n＝－5．

即y＝x－5，當y＝0時，x＝5，即m＝5．                                                         9分