如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEFG…叫做“正三角形的漸開線”，其中
CD
、
DE
、
EF
、…的圓心精英家教網(wǎng)依次為A、B、C…．當(dāng)漸開線延伸開時(shí)，形成三個(gè)扇形S1、S2、S3和一系列扇環(huán)S4、S5、…若正△ABC的邊長為1．
（1）求出曲線CDEFG的總長度．
（2）求出扇環(huán)S4的面積．
分析：（1）曲線CDEFG的總長度是4段弧的長度，圓心角都是120°，半徑分別為1，2，3，4，據(jù)弧長公式計(jì)算即可；
（2）扇環(huán)S4的面積是兩個(gè)扇形的面積的差．
解答：解：（1）∵正△ABC的邊長為1．
∴BD=2，CE=3，AF=4，
∴曲線CDEFG的總長度
120π×(1+2+3+4)
180
=
20π
3
；

（2）S4=
120π×42
360
-
120π×12
360
=5π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長的計(jì)算、扇形面積的計(jì)算以及等邊三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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探索發(fā)現(xiàn)：
（1）為了解決這個(gè)問題，我們不妨從最簡(jiǎn)單的正多邊形--正三角形入手．
如圖①，△ABC是正三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距離分別為h1、h2、h3 ，確定h1+h2+h3的值與△ABC的半徑R及中心角的關(guān)系．
解：設(shè)△ABC的邊長是a，面積為S，顯然S=
1
2
a（h1+h2+h3）
O為△ABC的中心，連接OA、OB、OC，它們將△ABC分成三個(gè)全等的等腰三角形，過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos
1
2
∠AOB=Rcos
1
2
×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin
1
2
∠AOB=Rsin
1
2
×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S△AOB=
1
2
AB×OM=
1
2
×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
∴S△ABC=3S△AOB=3R2sin60°cos60°
∴
1
2
a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
即：
1
2
×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
（2）如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑是R，P是正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1、h2、h3、h4、h5，參照（1）的探索過程，確定h1+h2+h3+h4+h5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
（3）類比上述探索過程，直接填寫結(jié)論
正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6=
6Rcos30°
6Rcos30°

正八邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和 h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8=
8Rcos22.5°
8Rcos22.5°

正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和  h1+h2+…+hn=
nRcos
180°
n
nRcos
180°
n
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB交x軸于A（1，0），交y軸負(fù)半軸于B（0，-5），C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且CA=
4
5
CO．
（1）求△ABC的面積．
（2）延長BA到P，使得PA=AB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖，D是第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OD⊥BD，直線BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延長線于F．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，
OD
OF
的大小是否發(fā)生變化？若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，求出這個(gè)比值．

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（1）求出曲線CDEFG的總長度．
（2）求出扇環(huán)S4的面積．

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