Question

如圖，矩形OABC放入平面直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，連接OB，將紙片OABC沿BC折疊，使點A落在點A′處，A′B與y軸交于點F，已知OA=1，AB=2。

（1）設CF=x，則OF=_____；
（2）求BF的長；
（3）設過點B的雙曲線為l，試問雙曲線l上是否存在一點M，使得以OB為一邊的△OBM的面積等于1？若存在，試求出點M的橫坐標；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）由軸對稱的性質可知：∠FBO=∠OBA
在矩形OABC中，OC∥AB，則∠FOB=∠OBA
∴∠FBO=∠OBA
∴BF=OF=
在Rt△FCB中，BC=OA=1，由勾股定理可得

即：
解得
則BF=OF=。
（3）設雙曲線l的解析式為：
又過點B（1，2）
∴，
∴
因為S_△OAB==×1×2=1
∴S_△COB=S_△A′OB=1
∴雙曲線l上符合條件的點M，應在與OB平行且距離等于點C到OB的距離的直線上。
直線OB過點（0，0），（1，2）
直線OB的解析式為，則過點C與OB平行的直線為：
點M可能是過點C且與OB平行的直線與雙曲線的交點
由，解得
由軸對稱性可知，點M可能是過點A且與OB平行的直線與雙曲線l的交點
由，解得：
綜上，符合條件的點M的橫坐標是或x=。