Question

在一次數(shù)學(xué)考試的試卷上有一道試題是：“已知α、β是方程x²+5x+2=0的兩根，求

α β

+

β α

的值．”下面是小王同學(xué)的解法，請(qǐng)認(rèn)真閱讀小王的解法后，解答問題．
解：

α β

+

β α

=

αβ β2

+

αβ α2

…①=

αβ

β

+

αβ

α

…②=(

1

β

+

1

α

)

αβ

…③=

α+β

αβ

αβ

…④
又∵α、β是方程x²+5x+2=0的兩根，∴α+β=-5，αβ=2…⑤
∴原式=

-5 2

2

…⑥
小王同學(xué)的解法正確嗎？若不正確，請(qǐng)指出他錯(cuò)在第幾步？并給出正確的解題過程．

Answer 1

分析：方程x²+5x+2=0的兩根為α、β，根據(jù)韋達(dá)定理，α+β=-5，αβ=2，再把

α β

+

β α

化簡(jiǎn)后即可求值．

解答：解：小王同學(xué)的解法不正確，錯(cuò)在第②步上．
∵△=5²-8=17＞0，
∴α≠β，
由韋達(dá)定理得α+β=-5，αβ=2，
這說明α，β同為負(fù)數(shù)，
∴

α β

+

β α

=

αβ β2

+

αβ α2

=-

1

β

αβ

-

1

α

αβ

=-（

α+β

αβ

）

αβ

=

5

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及二次根式的化簡(jiǎn)求值，難度一般，關(guān)鍵是根據(jù)韋達(dá)定理求出α+β=-3，αβ=2，判斷出α，β同為負(fù)數(shù)，再化簡(jiǎn)所求二次根式．