如圖,在直角坐標平面內(nèi),O為坐標原點,A點的坐標為(1,0),B點在x軸上且在點A的右側(cè),AB=OA,過點A和B作x軸的垂線分別交二次函數(shù)y=x2的圖象于點C和D,直線OC交BD于M,直線CD交y軸于點H。記C、D的橫坐標分別為xC,xD,點H的縱坐標yH。

(1)證明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3

②xC·xD=-yH

(2)若將上述A點坐標(1,0)改為A點坐標(t,0),t>0,其他條件不變,結(jié)論S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?請說明理由。

(3)若A的坐標(t,0)(t>0),又將條件y=x2改為y=ax2(a>0),其他條件不變,那么XC、XD和yH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出關(guān)系式,并證明。

 

 

(1)略

(2)成立

(3)xC·xD=-yH.

解析:

解:(1)由已知可得點B的坐標為(2,0)點C的坐標為(1,1),點D的坐標為(2,4),且直線OC的函數(shù)解析式為y=x。

∴點M的坐標為(2,2),易得S△CMD=1,S梯形ABMC  ………………(1.5')

∴S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3,即結(jié)論①成立。

設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b,則

                   即

∴直線CD的解析式為y=3x-2。

由上述可得點H的坐標為(0,-2),即yH=-2  ……………(2.5')

∴xC·xD=-yH.     即結(jié)論②成立    ………………………………(3')

(2)結(jié)論S△CMD:S梯形ABMC=2:3仍成立. ………………………………………(4')

理由如下:∵點A的坐標為(t,0),(t>0).

則點B的坐標為(2t,0)

從而點C的坐標為(t,t2),點D的坐標為(2t,4t2).

設(shè)直線OC的解析式為y=kx,則t2=kt      得k=t

∴直線OC的解析式為y=tx    ………………………………(5')

又設(shè)M的坐標為(2t,y)

∵點M在直線OC上

∴當x=2t時,y=2t2

∴點M的坐標為(2t,2t2      ………………………………(6')

∴S△CMD:S梯形ABMC·2t2·t∶(t2+2t2)·t

         =t3∶(t3

   …………………………………(7')

(3)xC,xD和yH有關(guān)數(shù)量關(guān)系xC·xD=-yH. ………………………………(8')

由題意,當二次函數(shù)的解析式為y=ax2(a>0),且點A的坐標為(t,0)時,點C的坐標為(t,at2),點D的坐標為(2t,4at2)  ………………(9')

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b

             得

∴CD的解析式為y=3atx-2at2 ……………………………………(11')

則H的坐標為(0,-2at2)即yH=-2at2…………………………(11.5')

∵xC·xD=t·2t=2t……………………………………………(12')

∴xC·xD=-yH.

 

練習冊系列答案
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45
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m
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3
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(2,5)或(8,5)

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