【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG,AH=CF.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如果AB=AD,且AH=AE,求證:四邊形EFGH是矩形.
【答案】證明:(1)在平行四邊形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF.
∴EH=GF.
在平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴AB﹣AE=CD﹣CG,AD﹣AH=BC﹣CF,
即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四邊形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH.
∴GH=EF.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)解法一:在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
設(shè)∠A=α,則∠D=180°﹣α.
∵AE=AH,∴∠AHE=∠AEH==90-. ∵AD=AB=CD,AH=AE=CG,
∴AD﹣AH=CD﹣CG,即DH=DG.
∴∠DHG=∠DGH= .
∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°.
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是矩形.
解法二:連接BD,AC.
∵AH=AE,AD=AB,
∴ =,∴HE∥BD,
同理可證,GH∥AC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD,
∴平行四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠EHG=90°.
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是矩形.
【解析】(1)易證得△AEH≌△CGF,從而證得BE=DG,DH=BF.故有,△BEF≌△DGH,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證.
(2)由題意知,平行四邊形ABCD是菱形,連接AC,BD,則有AC⊥BD,由AB=AD,且AH=AE可證得HE∥BD,同理可得到HG∥AC,故HG⊥HE,又由1知四邊形HGFE是平行四邊形,故四邊形HGFE是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲加工A型零件60個(gè)所用時(shí)間和乙加工B型零件80個(gè)所用時(shí)間相同.甲、乙兩人每天共加工35個(gè)零件,設(shè)甲每天加工x個(gè)A型零件.
(1)直接寫出乙每天加工的零件個(gè)數(shù);(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求甲、乙每天各加工零件多少個(gè)?
(3)根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),加工A型零件所獲得的利潤(rùn)為m元/件(3≤m≤5),加工B型零件所獲得的利潤(rùn)每件比A型少1元.求甲、乙每天加工的零件所獲得的總利潤(rùn)P(元)與m的函數(shù)關(guān)系式,并求P的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方形 ABCD 中,放入六個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形,所標(biāo)尺寸如圖所示, 則圖中陰影部分面積為( )
A. 44cm2B. 36cm2C. 96 cm2D. 84cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形中,在邊上取兩點(diǎn)、,使.若,,, 則以,,為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為( )
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨,,的值而定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為點(diǎn)E.連接DE, 則線段DE與線段AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【探索新知】:如圖1,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個(gè)角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.
(1)一個(gè)角的平分線 這個(gè)角的“巧分線”;(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN的“巧分線”,則∠MPQ= ;(用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果)
【深入研究】:如圖2,若∠MPN=60°,且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始,以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)PQ與PN成180°時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒.
(3)當(dāng)t為何值時(shí),射線PM是∠QPN的“巧分線”;
(4)若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),并與PQ同時(shí)停止,請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQ是∠MPN的“巧分線”時(shí)t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,把三角形ABC進(jìn)行平移,平移后得到三角形,且三角形ABC內(nèi)任意點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.
(1)面出平移后的圖形;
(2)三角形ABC是經(jīng)過怎樣平移后得到三角形的?寫出三個(gè)頂點(diǎn),,的坐標(biāo);
(3)求三角形ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,等腰Rt△CEF的斜邊CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上,CF>BC,取線段AE的中點(diǎn)M 。
(1)求證:MD=MF,MD⊥MF
(2)若Rt△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度(如圖2),其他條件不變。(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由。
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