Question

已知⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r（r＜R），且⊙P的圓心P在⊙O上．設(shè)C是⊙P上一點(diǎn)，過點(diǎn)C與⊙P相切的直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)C在線段OP上，（如圖1）．求證：PA•PB=2Rr；
（2）若點(diǎn)C不在線段OP上，但在⊙O內(nèi)部如圖（2）．此時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，說明理由；
（3）若點(diǎn)C在⊙O的外部，如圖（3）．此時(shí)，PA•PB與R，r的關(guān)系又如何？請(qǐng)直接寫出，不要求給予證明或說明理由．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)Q，
連接AQ，如圖（1），
∵AB與⊙P相切于點(diǎn)C，且PC是⊙P的半徑，
∴AB⊥PC，即∠PCB=90°．
又∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PAQ=90°．
∵∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽Rt△PCB，
∴

PA

PC

=

PQ

PB

，
即PA•PB=PQ•PC．
又∵PQ=2R，PC=r，
∴PA•PB=2Rr；

（2）（1）中的結(jié)論成立．
證明：連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，
連接AQ，PC，如圖（2），
由已知條件，得
∠PAQ=∠PCB=90°．
又∠PQA=∠PBC，
∴Rt△PAQ∽Rt△PCB，
∴

PA

PC

=

PQ

PB

，
即PA•PB=PQ•PC=2Rr；

（3）PA•PB=2Rr．