【題目】如圖1,拋物線l1:y=﹣x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A、B,(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,其對(duì)稱(chēng)軸為x=1,拋物線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E(5,0),交y軸于點(diǎn)D(0,﹣5).
(1)求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn),連接PA、PC,當(dāng)PA=PC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)M為拋物線l2上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥y軸(如圖2所示),交拋物線l1于點(diǎn)N,求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中,線段MN長(zhǎng)度的最大值.
【答案】(1)拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;y=x2﹣4x﹣5;(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1);(3)在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中,線段MN長(zhǎng)度的最大值為12.5.
【解析】
(1)由拋物線l1的對(duì)稱(chēng)軸求出b的值,即可得出拋物線l1的解析式,從而得出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),由點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)D的坐標(biāo)求出拋物線l2的解析式即可;(2)作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,y),求出點(diǎn)C的坐標(biāo),進(jìn)而得出CH=1,PH=|3﹣y |,PG=|y |,AG=2,由PA=PC可得PA2=PC2,由勾股定理分別將PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示,列方程求出y的值即可;(3)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),求出兩個(gè)拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1,4,①當(dāng)﹣1<x≤4時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方,表示出MN的長(zhǎng)度為關(guān)于x的二次函數(shù),在x的范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最值;②當(dāng)4<x≤5時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方,同理求出此時(shí)MN的最大值,取二者較大值,即可得出MN的最大值.
(1)∵拋物線l1:y=﹣x2+bx+3對(duì)稱(chēng)軸為x=1,
∴x=﹣=1,b=2,
∴拋物線l1的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3,
當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,
解得:x1=3,x2=﹣1,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
設(shè)拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;y=a(x﹣5)(x+1),
把D(0,﹣5)代入得:﹣5a=﹣5,a=1,
∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;y=x2﹣4x﹣5;
(2)作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,y),由(1)可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),
∴CH=1,PH=|3﹣y |,PG=|y |,AG=2,
∴PC2=12+(3﹣y)2=y2﹣6y+10,PA2= =y2+4,
∵PC=PA,
∴PA2=PC2,
∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1);
(3)由題意可設(shè)M(x,x2﹣4x﹣5),
∵MN∥y軸,
∴N(x,﹣x2+2x+3),
令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣5,可解得x=﹣1或x=4,
①當(dāng)﹣1<x≤4時(shí),MN=(﹣x2+2x+3)﹣(x2﹣4x﹣5)=﹣2x2+6x+8=﹣2(x﹣)2+,
顯然﹣1<≤4,
∴當(dāng)x=時(shí),MN有最大值12.5;
②當(dāng)4<x≤5時(shí),MN=(x2﹣4x﹣5)﹣(﹣x2+2x+3)=2x2﹣6x﹣8=2(x﹣)2﹣,
顯然當(dāng)x>時(shí),MN隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=5時(shí),MN有最大值,MN=2(5﹣)2﹣=12.
綜上可知:在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過(guò)程中,線段MN長(zhǎng)度的最大值為12.5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1,x2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且滿足=﹣2,求k的值,并求此時(shí)方程的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
年上半年出臺(tái)規(guī)定,將用空氣質(zhì)量指數(shù)替代原有的空氣污染指數(shù).空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為六級(jí),相對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量的六個(gè)類(lèi)別,指數(shù)越大、級(jí)別越高,說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體的健康危害也就越大,從一級(jí)優(yōu),二級(jí)良,三級(jí)輕度污染,四級(jí)中度污染,直至五級(jí)重度污染,六級(jí)嚴(yán)重污染.將空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)優(yōu),二級(jí)良的天氣定義為達(dá)標(biāo)天氣.
北京市環(huán)保局年月日上午向媒體通報(bào):
年北京空氣質(zhì)量狀況,與年相比,年,北京各項(xiàng)污染物同比均有所改善.據(jù)報(bào)導(dǎo),年北京空氣質(zhì)量持續(xù)改善,年均濃度微克/立方米,同比下降,但是這一數(shù)值依舊超出國(guó)家標(biāo)準(zhǔn).年,北京空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)天數(shù)天,較年增加天,其中一級(jí)優(yōu)的天數(shù)增加了天,年北京有重污染天(含嚴(yán)重污染天)天.其中年月至月底,北京全市濃度同比下降,空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)天數(shù)較去年同期增加天,空氣重污染天數(shù)同比減少
根據(jù)以下材料解答下列問(wèn)題:
()年本市空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)天數(shù)為__________天;年平均濃度的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)限值是__________微克/立方米;(結(jié)果保留整數(shù)).
()選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖,將年一級(jí)優(yōu)天數(shù)的情況表示出來(lái);預(yù)估年北京市一級(jí)優(yōu)天數(shù)約__________天.
()小明從報(bào)道中發(fā)現(xiàn)“年月至月底,北京全市濃度同比下降,空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)天數(shù)較去年同期增加天,空氣重污染天數(shù)同比減少天,”他由此推斷“年全年的達(dá)標(biāo)天數(shù)的年增長(zhǎng)率將比年全年的達(dá)標(biāo)天數(shù)的年增長(zhǎng)率出現(xiàn)大幅增長(zhǎng),”你同意他的結(jié)論嗎?并說(shuō)明你的理由.
()
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一元二次方程(a+1)x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一個(gè)根與方程(a+1)x2+ax﹣a2+a+2=0的一個(gè)根互為相反數(shù),那么(a+1)x2+ax﹣a2+a+2=0的根是( 。
A. 0,﹣ B. 0, C. ﹣1,2 D. 1,﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)口袋中有3個(gè)大小相同的小球,球面上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3.從袋中隨機(jī)地摸出一個(gè)小球,記錄下數(shù)字后放回,再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球.
(1)請(qǐng)用樹(shù)形圖或列表法中的一種,列舉出兩次摸出的球上數(shù)字的所有可能結(jié)果;
(2)求兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員在相同條件下各射靶次,每次射靶的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲:,,,,,,,,,
乙:,,,,,,,,,
丙:,,,,,,,,,
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | __________ | ||
乙 | __________ | ||
丙 | __________ |
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析,哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)最穩(wěn)定.并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形的項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)(______,______),點(diǎn)坐標(biāo)(______,______);
(2)如圖,D為中點(diǎn).連接,,如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn),且四邊形的面積是面積的倍,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每鈔個(gè)單位的速度沿線段運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā).以每秒個(gè)單位的連度沿線段運(yùn)動(dòng),當(dāng)到達(dá)點(diǎn)時(shí),,同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒,在,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.當(dāng)時(shí),直接寫(xiě)出時(shí)間的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋?zhuān)?qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)公式: ;
(2)如圖2,已知,,且三點(diǎn)共線.
試證明;
(3)勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,千百年來(lái),人們對(duì)它的證明趨之若騖,有資料表明,關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種.課本中介紹了比較有代表性的趙爽弦圖.
伽菲爾德(Garfield,1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng))利用圖2證明了勾股定理(1876年4月1日,發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上),請(qǐng)你寫(xiě)出該證明過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校八年級(jí)共有三個(gè)班,都參加了學(xué)校舉行的書(shū)法繪畫(huà)大賽,三個(gè)班根據(jù)初賽成績(jī)分別選出了10名同學(xué)參加決賽,這些選手的決賽成績(jī)(滿分100分)如下表所示:
決賽成績(jī)(單位:分) | |
八年1班 | 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 |
八年2班 | 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 |
八年3班 | 82 80 78 78 81 96 97 87 92 84 |
解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表:
平均數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | |
八年1班 | 85.5 |
| 87 |
八年2班 | 85.5 | 85 |
|
八年3班 |
| 78 | 83 |
(2)請(qǐng)從以下兩個(gè)不同的角度對(duì)三個(gè)班級(jí)的決賽成績(jī)進(jìn)行
①從平均數(shù)和眾數(shù)相結(jié)合看(分析哪個(gè)班級(jí)成績(jī)好些).
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析哪個(gè)班級(jí)成績(jī)好些).
(3)如果在每個(gè)班級(jí)參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽,你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的實(shí)力更強(qiáng)一些?請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
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