Question

在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=∠ACD．
（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=120°，∠CBD=60°，AB=BC時(shí)，猜想線段AC與CD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC+∠CBD=180°，AB≠BC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠ABC=120°，∠CBD=60°，AB=BC，易證得△ABD≌△CBD，即可得AD=CD，又由∠ACD=∠ABD=60°，可證得△ACD是等邊三角形，即可證得結(jié)論；
（2）首先延長(zhǎng)AB到E使BE=BD，連接CE，易證得△CBD≌△CBE，可得CD=CE，∠E=∠BDC，又由∠ABD=∠ACD，可證得△CAE是等腰三角形，證得AC=CE，則可證得結(jié)論．

解答：解：（1）AC=CD．
證明：∵∠ABC=120°，∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，

AB=CB ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AD=CD，
∵∠ACD=∠ABD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=CD；

（2）成立．
證明：延長(zhǎng)AB到E使BE=BD，連接CE，
則∠ABC+∠CBE=180°，
∵∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠CBD=∠CBE，
在△CBD和△CBE中，

BD=BE ∠CBD=∠CBE BC=BC

，
∴△CBD≌△CBE（SAS），
∴CD=CE，∠E=∠BDC，
∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠COD，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠E，
∴AC=CE，
∴AC=CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．