Question

如圖1，已知點(diǎn)D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)

（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．
（2）將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
（3）將△ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”是否均成立？說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．
（2）延長(zhǎng)ED交AC于F，求出DM=FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根據(jù)ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．
（3）過點(diǎn)C作CF∥ED，與DM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于點(diǎn)N，證△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．
試題解析：（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴BM=EC，DM=EC，
∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，
∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，
同理∠DME=2∠ACM，
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形．
（2）如圖2，△BDM是等腰直角三角形，

理由是：延長(zhǎng)ED交AC于F，
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=45°，
∵AD⊥ED，
∴ED=DF，
∵M(jìn)為EC中點(diǎn)，
∴EM=MC，
∴DM=FC，DM∥FC，
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，
∵ED⊥AB，BC⊥AB，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=NCM，
在△EDM和△CNM中

∴△EDM≌△CNM（ASA），
∴DM=MN，
∴BM⊥DN，
∴△BMD是等腰直角三角形．
（3） △BDM是等腰直角三角形，
理由是：如圖：過點(diǎn)C作CF∥ED，與DM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BF，

可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點(diǎn)N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
則△BMD是等腰直角三角形，
考點(diǎn): 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.直角三角形斜邊上的中線；3.等腰直角三角形.